成立。
证明过程详见参考文献[9]。
3．4 第一曲线积分中值定理
定理10（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数f(x,y)在光滑有界闭曲线C上连续，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使
?成立，其中S为曲线C的弧长。
Cf(x,y)ds?f(?,?)S
证明：因为函数f(x,y)在光滑有界闭曲线C上连续，所以存在m,M?R，其中
m?f(x,y)?M，对不等式在闭曲线C上进行第一类曲线积分可得
m??ds?CCC?Cf(x,y)ds?M??ds，
C其中?ds为曲线C的弧长，并且?ds?S，由于S?0，将上式同除以常数S，即可得到
m?1S?Cf(x,y)ds?M，
由于函数f(x,y)在曲线C上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C上至少存在一点(?,?)，使
f(?,?)?1S?Cf(x,y)ds
成立，左右两边同除以常数S，即可得到结论，从而命题得证。
3.5 第二曲线积分中值定理
定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数f(x,y)在光滑有向曲线C上连续，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使得
?确定的。
Cf(x,y)dx??f(?,?)?I
成立。其中I为光滑有向曲线C在x轴正向上的投影，其中符号“?”是由曲线C的方向
证明：因为函数f(x,y)在有界闭曲线C上连续，所以存在m,M?R，其中
m?f(x,y)?，对上式进行第二型曲线积分可得 Mm?dx?c?Cf(x,y)dx?M?cdx（3-6）
其中?dx为有向光滑曲线C在x轴上的投影，此时我们不妨记?dx??I，并且分以下两种
cc 12
情况进行讨论：
[1]假设?dx?I，将（3-6）式除以I可得
cm?1I?Cf(x,y)dx?M。
因为f(x,y)在C上连续，故由介值定理，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使
1I?Cf(x,y)dx?f(?,?)
成立，即有
?成立。
Cf(x,y)dx?f(?,?)?I
[2]同理当?dx??I，式左右两边同时除以?I可得
c?M??1I?Cf(x,y)dx??m，
因为f(x,y)在C上连续，故由介值定理，则在曲线C上至少存在一点(?,?)，使
?1I?Cf(x,y)dx?f(?,?)
成立，即有
?成立，由上面证明过程可得
Cf(x,y)dx??f(?,?)?I
?命题得证。
Cf(x,y)dx??f(?,?)?I，
3.6 第一曲面积分中值定理
定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D为xoy平面上的有界闭区域，其中z?z(x,y)为光滑曲面S，并且函数f(x,y,z)在S上连续，则在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使
??Sf(x,y,z)d??f(?,?,?)?A
成立，其中A是曲面S的面积。
证明：因为f(x,y,z)在曲面S上连续，所以存在m,M?R且使得m?f(x,y,z)?M成立，我们对上式在S上进行第一类曲面积分可得
13
m???d??S??Sf(x,y,z)d??M??d?，
S其中??d?为曲面的面积，且??d??A，因为A?0，两边同除以A有
SSm?1A??Sf(x,y,z)d??M，
由于f(x,y,z)在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使
f(?,?,?)?1A??Sf(x,y,z)d?，
成立，两边同时乘以A可得
??Sf(x,y,z)d??f(?,?,?)?A，
命题得证。
3.7 第二曲面积分中值定理
定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面S:z(x,y),(x,y)?Dxy，其中Dxy是有界闭区域，函数f(x,y,z)在S上连续，由此在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使
?Sf(x,y,z)dxdy??f(?,?,?)?A
成立，其中A是S的投影Dxy的面积。
证明：因为函数f(x,y,z)在曲面S上连续，所以存在m,M?R使得m?f(x,y,z)?M，对上式在曲面S上进行第二类曲面积分可得
m???dxdy?S??Sf(x,y,z)dxdy?M??dxdy，
S其中??dxdy为f(x,y,z)投影在曲面Dxy上的面积，并且我们记??dxdy??A。
SS[1]若??dxdy?A，则上式除以A有
Sm?1??ASf(x,y,z)dxdy?M，
由于f(x,y,z)在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使
f(?,?,?)?1??ASf(x,y,z)dxdy，
两边同时乘以A有
14
??Sf(x,y,z)dxdy?Af(?,?,?)，
[2]同理，若??dxdy??A，则上式除以?A有
S?M??1A??Sf(x,y,z)dxdy??m，
由于f(x,y,z)在曲面S上连续，故由介值定理，在曲面S上至少存在一点(?,?,?)，使
两边同时乘以?A有
由以上证明过程可得
从而结论成立。
f(?,?,?)??1A??f(x,y,z)dxdy，
S?Af(?,?,?)???f(x,y,z)dxdy。
S?Sf(x,y,z)dxdy??f(?,?,?)?A，
15
4 第一积分中值定理中值点的渐进性
定理14 ：假设函数f(x)在[a,b]上n阶可导，其中f(x)在a点的直到n?1阶右导数为0，而n不为0，即f??(a)?f???(a)???f?(n?1)(a)?0，f?(n)(a)?0，并且有f(n)(x)在a点连
续；函数g(x)在[a,b]可积且不变号，并且对于充分小的??0(a???b)， g(x)在[a,a??]上连续，且g(a)?0，则第一积分中值定理中的中值点?满足lim证明：对任意x?(a,b)，我们做一个辅助函数F(x)如下：
??ax?a?n1n?1x?a?0,x?(a,b)。
F(x)??xaf(t)g(t)dt?f(a)?g(t)dtax(x?a)n?1
一方面，当x?a?0时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则
x?a?0limF(x)?limf(x)g(x)?f(a)g(x)(n?1)(x?a)n
x?a?0?lim1f(x)?f(a)g(x)(x?a)nx?a?0n?1
f(x)?f(a)(x?a)n?n?1?limg(x)?limx?a?0
x?a?0由积分中值定理和洛比达法则可以得到
limf(x)?f(a)(x?a)nx?a?0?f?(n)(a)n!，
从而
limF(x)?g(a)f?(n)(a)x?a?0(n?1)!。 （4-1）
且有
limf(?)?f(a)(??a)nx?a?0?f?(n)(a)n!,(a???x)
成立。
另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得
limF(x)?limf(?)?g(t)dt?f(a)?g(t)dtaaxxx?a?0x?a?0(x?a)n?1
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