证明：由于函数f(x,y)在闭区域D上连续，假设f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值分别为M,m，即m?f(x,y)?M。对不等式在区域D上进行二重积分可得
??mds???DDf(x,y)ds???Mds，
D即
m??ds?D??Df(x,y)ds?M??ds。
D其中??ds为闭区域D的面积，我们不妨记??ds??。由上式还可得到
DDm?????Df(x,y)ds?M??。
由于??0，将不等式除以?可得
m?1???Df(x,y)ds?M。
由于函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(?,?)使得
1???Df(x,y)ds?f(?,?)
成立。将上式两边同乘以?即可得到
??Df(x,y)ds?f(?,?)??，
从而命题得证。
定理6（三重积分的中值定理）：设函数f(x,y,z)在空间闭区域D上连续，其中A是D的体积，则在D上至少存在一点(?,?,?)使得
???Df(x,y,z)ds?f(?,?,?)?A
成立。
证明：由于函数f(x,y,z)在闭区域D上连续，假设f(x,y,z)在闭区域D上的最大值和最小值分别为M,m，即m?f(x,y,z)?M。对不等式在区域D上进行三重积分可得
???mds????DDf(x,y,z)ds????Mds，
D即
m???ds?D???Df(x,y,z)ds?M???ds，
D 7
其中???ds为闭区域D的体积，我们不妨记???ds?A。由上式还可得到
DDm?A????Df(x,y,z)ds?M?A。
由于A?0，将不等式同除以A即可得到
m?1A???Df(x,y,z)ds?M。
由函数f(x,y,z)在闭区域D上连续，则此时在D上至少存在一点(?,?,?)使得
1A???Df(x,y,z)ds?f(?,?,?)
成立。将上式两边同乘以A即可得到
???Df(x,y,z)ds?f(?,?,?)?A，
命题得证。
8
3. 积分中值定理的推广
3.1定积分中值定理的推广
定理7（推广的定积分中值定理） ：如果函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则在开区间(a,b)至少存在一个点?，使得下式
?成立。
baf(x)dx?f(?)(b?a),(a???b)
证明：作辅助函数F(x)如下：
F(x)??xaf(t)dt,x?[a,b]。
由于f(x)在闭区间[a,b]连续，则F(x)在[a,b]上可微，且有F?(x)?f(x)成立。由微分中值定理可知：至少存在一点??(a,b)，使得F(b)?F(a)?F?(?)(b?a)成立。并且有
F(b)??baf(t)dt，F(a)?0，此时即可得到下式
?命题得证。
baf(t)dt?f(?)(b?a),??(a,b)，
3.2定积分第一中值定理的推广
定理8（推广的定积分第一中值定理）： 若函数f(x)是闭区间[a,b]上可积函数，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则在开区间(a,b)上至少存在一点?，使得
?成立。
baf(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx,ab??(a,b)
证法1：由于函数f(x)在闭区间[a,b]上是可积的，g(x)在[a,b]上可积且不变号，令
F(x)?F(a)??xaf(t)g(t)dt，G(x)?b?xag(t)dt，很显然F(x),G(x在)[a,b]上连续。并且
0,F(b??)af(t)g，(tGd(at)?0,G(b)??bag(t)dt，F?(?)?f(?)g(?)，G?(?)?g(?) 。
由柯西中值定理即可得到
F(b)?F(a)G(b)?G(a)?F?(?)G?(?),??(a,b)，
即
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?babaf(t)g(t)dt?ba?g(t)dtbf(?)g(?)g(?)，
?命题得证。
f(t)g(t)dt?f(?)?g(t)dt,a??(a,b)，
证法2：由于函数g(x)在[a,b]上可积且不变号，我们不妨假设g(x)?0。而函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，我们令m?inf?f(x)|x?[a,b]?，假设F(x)M?sup?f(x)|x?[a,b]?。是f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数，即F?(x)?f(x),m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?Maabbbx?[a,b]。此时我们有下式成立
?bag(x)dx（3-1）
由于g(x)?0，则有?g(x)dx?0，以下我们分两种情形来进行讨论：
a[1]如果?g(x)dx?0，由（3-1）式可知?f(x)g(x)dx?0，则此时对于???(a,b)
aabb有
?成立。
bbaf(x)g(x)dx?0?f(?)?g(x)dx
ab[2]如果?g(x)dx?0，将（3-1）式除以?g(x)dx可得
aabm??baf(x)g(x)dx?我们记
??ba?M，（3-2）
g(x)dx?baf(x)g(x)dx?ba，（3-3）
g(x)dx此时我们又分两种情形继续进行讨论：
i如果（3-2）式中的等号不成立，即有m??baf(x)g(x)dx?m???Mba?M成立，则此时存在
g(x)dx，使得
m?f(x1)??,??f(x2)?M，
我们不妨假设x1?x2，其中x1,x2?[a,b]。因为F?(x)?f(x)，x?[a,b]，则有
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F?(x1)?f(x1)???f(x2)?F?(x2)。
此时至少存在一点??(x1,x2)，使得F?(?)?f(?)??，即有
?baf(x)g(x)dx?f(?)??g(x)dx,ab??(x1,x2)?[a,b]
成立，从而结论成立。
ii如果（3-2）式中仅有一个等号成立，不妨假设??M，因为?g(x)dx?0，此时必
ab存在[a1,b1]?(a,b)（其中a1?b1），使得?x?[a1,b1]，恒有g(x)?0成立，我们则可将（3-3）式可改写为
???g(x)dx?ab?baf(x)g(x)dx，
因为??M，则有
?b1a1ba[M?f(x)]g(x)dx?0（3-4）
又注意到[M?f(x)]g(x)?0，必有
0??[M?f(x)]g(x)dx??ba[M?f(x)]dx?0。
于是
?b1a1[M?f(x)]g(x)dx?0（3-5）
下证必存在??[a1,b1]?(a,b)，使f(?)???M。
若不然，则在[a1,b1]上恒有M?f(x)?0及g(x)?0成立，从而[M?f(x)]g(x)?0。如果
?b1a1[M?f(x)]g(x)dx?0，由达布定理在[a1,b1]上有[M?f(x)]g(?x)，这与
[M?f(x)]g(?x)矛盾。
如果
?b1a1[M?f(x)]g(x)dx?0b，这与（3-5）式矛盾。所以存在??[a,b]，使
?baf(x)g(xdx)?f?(?)gx(dx)a?,?ab(，定理证毕。,
3.3 推广定积分第二中值定理
定理9（推广定积分第二中值定理）： 如果函数f(x)在闭区间[a,b]可积，g(x)在区间[a,b]上可积且不变号，则在(a,b)上必存在一点?，使得
?baf(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx,accb??(a,b)
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