第二章 导数与微分
内容概要 名称 主要内容 导数的定义f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0) ?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?lim h?0h 函数的求导法则f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0) x?x0(1) 导数的四则运算法则 i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) ??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0) 2v(x)v(x) (2) 复合函数的求导法则(链式法则) dydydu?? dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数 的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 反函数的导数 f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数 ??(y) (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导 (2) 间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶高阶导数导数 (3)莱布尼茨公式 (uv)(n)kn?kk??Cnuv k?0n
课后习题全解
习题2-1
★ 1. 用定义求函数
y?x3在x?1处的导数.
知识点：函数在某点处导数的定义
思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限 解： ?y ?(1??x)3?13?3?x?3(?x)2?(?x)3
?y ?3?3?x?(?x)2?x
?y y?|x?1?lim?lim(3?3?x?(?x)2)?3?x?0?x?x?0★ 2. 已知物体的运动规律s?t2(m),求该物体在t?2(s)时的速度.
知识点：导数的定义
思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导
s(2??t)?s(2)(2??t)2?22?t2?4?t?lim?lim?4 解: v|t?2?lim?t?0?t?0?t?0?t?t?t3. 设
f?(x0)存在，试利用导数的定义求下列极限：
知识点：导数的定义
f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)求极限
h?0hf(x0??x)?f(x0)★(1)lim
?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)＝－lim＝－f?(x0) 解：lim?x?0?x?0?x－?xf(x0?h)?f(x0?h)★(2)lim
h?0hf(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)?lim 解：lim
h?0h?0hhf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?lim?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) h?0 h?0h?h思路：利用导数的定义式limf(x0??x)?f(x0?2?x)
?x?02?xf(x0??x)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?2?x)＝lim解：lim
?x?0?x?02?x2?xf(x0??x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)113＝lim?lim＝f?(x0)+f?(x0)＝f?(x0) ?x?02?x?0?x?2?x22 ★★ (3)
lim★★ 4.设
f(x)在x?2处连续，且limx?2f(x)?2，求f?(2). x?2知识点:导数和连续的定义
思路: 关键求出f(2),再利用导数的定义 解:
f(x)在x?2处连续
x?2?f(2)?limf(x)
又limf(x)?lim(x?2)?x?2x?2f(x)f(x)f(x)?lim(x?2)?lim?0?lim?0 x?2x?2x?2x?2x?2x?2?f(2)?0?f?(2)?limx?2 f(x)?f(2)f(x)?lim?2x?2x?2x?2★ 5.给定抛物线
y?x2?x?2,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.
知识点：导数的几何意义
思路：利用导数的几何意义得切线的斜率
解:y??2x?1 ?切线的斜率k?y?|x?1?21?1?1
?切线的方程为y?2?1(x?1),即y?x?1
法线方程为y?2?(?1)(x?1),即y??x?3
★ 6.求曲线
1)处的切线方程和法线方程. y?ex在点(0，知识点：导数的几何意义
思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: y??e ?切线的斜率k?y?|x?0?e0?1
x?切线的方程为y?1?1(x?0),即y?x?1
法线方程为y?1??(x?0),即y??x?1
11★ 7.函数
?x2?1,0?x?1在点x?1处是否可导?为什么? f(x)??1?x?3x?1,知识点：函数在某点可导的充要条件
思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别 解：f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)3x?1?2?lim?3 x?1?x?1x?1f(x)?f(1)x2?1?2f??(1)?lim?lim?2
x?1?x?1?x?1x?1
f??(1)?f??(1) ?f(x)在x?1处不可导.
★ 8.用导数的定义求
x?0?x,在x?0处的导数. f(x)??ln(1?x),x?0?知识点：函数在某点可导的充要条件
思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件 解: f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?0?lim?1 ?x?0x?0x?0x?0f(x)?f(0)x?0f??(0)?lim?lim?1
x?0?x?0?x?0x?0?f??(0)?f??(0) ?f?(0)?f??(0?)?f★★ 9.设
(?0)
?sinx,x?0,求f?(x). f(x)??x?0?x,知识点：分段函数的导数
思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当x?0时，f?(x)?(sinx)??cosx
当x当x?0时，f?(x)?x??1 ?0时，f??(0)?lim?f(x)?f(0)x?lim?1
x?0x?0?xx?0f(x)?f(0)sinx?lim?1 f_?(0)?limx?0?x?0?x?0x?f?(0)?1
?cosx,x?0 ??f(x)??x?0?1,1?2?xsin,x?0★★ 10.试讨论函数y??在x?0处的连续性与可导性. x?x?0?0,知识点：函数在某点连续与可导的定义
思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断 解: limf(x)?limxsinx?0x?021?0?f(0) x ?y?f(x)在x?0处连续.
1(?x)2sin?0?y?x lim?lim??x?0?x?x?0?x12 ?y?xsin在x?0处可导.
x★★ 11.设
x?0?li?mx[(1)s?in ?x]0?(x)在x?a处连续, f(x)?(x2?a2)?(x),求f?(a).
知识点：函数在某点处导数的定义 思路：利用导数的定义求导数 解:?(x)在x?a处连续
?lim?(x)??(a)x?a
f(x)?f(a)(x2?a2)?(x)?0?f?(a)?lim?lim?lim(x?a)?(x)?2a?(a)x?ax?ax?ax?ax?a★★ 12.设不恒为零的奇函数
f(x)在x?0处可导,试说明x?0为函数f(x)x的何种间断点.
知识点：导数以及间断点的定义
思路：利用导数的定义求极限 解:
又
f(x)为奇函数 ?f(0)?f(?0)??f(0) ?f(0)?0
f(x)?f(0)'f(x)?f(0)lim?f?(0) f(x)在x?0处可导 ?lim即
x?0x?0x?0xf(x)在x?0处有极限. ?xf(x)?x?0为函数的可去间断点.
x★★ 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T与时间t的函数关系为
T?T(t),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度?
知识点: 导数的定义
思路: 导数反映的是函数的变化率,在t时刻的冷却速度即为函数T?T(t)对时间t的导数 解:t时刻该物体的温度为T?T(t),则t??t时刻物体的温度为T?T(t??t),
?物体在t时刻的冷却速度v(t)?lim★★★ 14.设函数
T(t??t)?T(t)dT??T?(t).
?t?0?tdtf(x)在其定义域上可导,若f(x)是偶函数,证明f?(x)是奇函数;若f(x)是奇函数,
则
f?(x)是偶函数(即求导改变奇偶性).
知识点：导数的定义
思路：利用导数的定义求导数
解:若f(x)为偶函数时, f(?x)?f(x)