6.求下列参数方程所确定的函数的导数
dy: dx知识点: 参数方程表示的函数的导数
思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导
?x?at2★ (1) ?;
3?y?btdyyt?3bt23bt解:???dxxt?2at2a
?x?etsint★ (2) ?;
t?y?ecostdyyt?etcost?etsintcost?sint解: ???dxxt?etsint?etcostsint?cost
?x?cos2t★ (3) ?.
2?y?sint解:
dyyt?2sintcost????1
?dxxt?2costsintdy: dx7.求下列参数方程所确定的函数的导数
知识点: 参数方程表示的函数的导数
思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t看作中间变量利用复合函数求导法则求二
阶导数,
?x?3e?t★★ (1) ?t?y?2e;
dyyt?2et22t解: ????e t?dxxt?3e3d2yd22td22tdt42t143t?(?e)?(?e)??e?(?)?e dx2dx3dt3dx33e?t9?x?1?t2★★ (2) ?;
3?y?t?tdyyt?1?3t21?3t2解: ????dxxt??2t2t
d2yd1?32td1?32tdt?62?t21)?(?)??2? ?2?(?dxdx2tdt2tdx4t?223?t1??3 t4t?x?ln(1?t2)★★ (3) ?.
?y?t?arctant12d2ydtdtdt11?t21?t2dyyt?t1?t?解: ??? 2?()?()??2tdxdx2dt2dx22t4tdxxt?21?t2★★ 8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6m/2,问在2s末扰动水
1?面面积的增大率为多少?
知识点: 导数的定义
思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导
解:设最外一圈波半径为r,则水面面积s??r
2?扰动水面面积的增大率
ds2?rdrdr??2?r (*) dtdtdtdr?6m/s 在t?2s时,r?6?2?12m. dtds?2??12?6?144?(m2/s) 代入(*)式得dt★★ 9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为
?3时,该夹角的增加率.
知识点: 导数的定义
思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导 解:设梯子下端离墙面的距离为L,则L?0.5t
设梯子与墙的夹角为?,则sin??L0.5tt??5510,即0.5t ???arcsint 10当???3时,L?5sin?3?532?532 ?t?53 ?当???3时,夹角?的增加率为
d??dt110t1?()210|t?53?1 5★★ 10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的
速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?
知识点: 导数的定义
思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导
解:在十二点后t小时甲船行驶的路程s甲?6t(km),乙船行驶的路程为s乙?8t(km)
当0?t?2时,甲乙两船的距离s甲乙?(16t)2?(16?8t)2?36t2?64(2?t)2 ?当t?1时,甲乙两船相距的速率
习题2-5
★ 1.已知
ds甲乙?256?200t?|??2.8km/h
22t?1dt236t?64(2?t)y?x3?1，在点x?2处计算当?x分别为1，0.1，0.01时的?y及dy之值.
知识点：函数增量以及函数微分的定义
思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可
解：?y?f(2??x)?f(2)?(2??x)3?8 dy|x?2?f?(2)dx?12dx
(1)当?x?1时，?y?33?8?19 dy?12?1?12
(2) 当?x?0.1时，?y?(2.1)3?8?1.261 dy?12?0.1?1.2
(3) 当?x?0.01时，?y?(2.01 dy?12?0.01?0.12 )3?8?0.120601★ 2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：
知识点：微分形式的不变性
思路：利用dy?f?(u)du求函数微分
(1)
d()?5xdx
5222解：?d(x)?2xdx ?d(x?c)?5xdx
(2)
d()?sin?xdx
1解：?d(cos?x)???sin?xdx ?d(?(3)
?cos?x?c)?sin?xdx
d()?1dx 2?x11dx ?d(ln(2?x)?c)?dx 2?x2?x解：?d(ln(2?x))?(4)
d()?e?2xdx
?2x解：?d(e(5)
1)??2e?2xdx ?d(?e?2x?c)?e?2xdx
2d()?1dx x12xdx ?d(2x?c)?1dx x解：?d(x)?(6)
d()?sec22xdx
2x?c)?sec2xdx解：?d(tan2x)?2sec22xdx ?d(tan
3.求下列函数的微分：
122知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，以及微分的定义 思路：利用dy?f?(x)dx求函数微分
★ (1)
y?lnx?2x
1111 ?dy?(??)dx
xxxx解：y??★（2）
y?xsin2x
解：y??sin2x?2xcos2x ?dy?(sin2x?2xcos2x)dx
★ (3)
y?x2e2x
解: y??(x2)?e2x?x2(e2x)??2x(1?x)e2x ?dy?2x(1?x)e2xdx
★ (4)
y?ln1?x3(1?x3)?1?x3 解:y??3x23x2 ?dy??dx ??2(1?x3)2(1?x3)★ (5)
y?(ex?e?x)2
x?xx?x2x解:y??2(e?e)(e?e)?2(e★ (6)
?e?2x) ?dy?2(e2x?e?2x)dx
y?x?x
解:y??(x?x)?2x?x?2x?14xx?x?dy?
2x?14xx?xdx
1?x2★ (7)y?arctan1?x2
1?x2()?22x2x1?xdy??dx 解:y????44 x?11?x22x?11?()1?x2★★ (8)
y?ax?1?a2xarccos(ax)
x解:y??alna?(1?a2x)21?a2xarccos(a)?1?a[?x2x(ax)?1?a2x]
?alna?
xa2xlna1?a2xarccos(a)?alna??xxa2xlna1?a2xarccos(ax)
?dy??
a2xlna1?a2xarccos(ax)dx
★★ 4.求方程2y?x?(x?y)ln(x?y)所确定的函数y?y(x)的微分dy.
知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy
解:方程两边同时求微分, d(2y?x)?d(x?y)ln(x?y)?(x?y)d(ln(x?y))
即2dy?dx?(dx?dy)ln(x?y)?(x?y)?dx?dy2?ln(x?y)dx 化简得dy? x?y3?ln(x?y)★★ 5.求由方程cos(xy)?x2y2所确定的函数y的微分.
知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy
解:方程两边同时求微分,得d(cos(xy))?d(x2y2) 即?sin(xy)(dydx?xdy)?2xy(dx?xdy)
2xy2?ysin(xy) 化简得dy??dx 2xsin(xy)?2xy★★ 6.当|x|较小时,证明下列近似公式:
知识点: 微分的应用
思路: 当|x|较小时,f(x)?f(0)?f?(0)x
(1)sinx?x
解:当|x|较小时,f(x)?f(0)?f?(0)x
?sinx?sin0?cos0?x?x 即sinx?x
xe?1?x (2)
解:e?e?ex 即e?1?x (3)n1?x?1?x00xx n1n1?111n解: 1?x?(1?0)?(1?0)?x 即n1?x?1??x
nnn