★★ 7.计算下列格式的近似值:
知识点: 微分的应用
思路: 当|x|较小时,f(x)?f(x0)?f?(x0)x (1)
1001.002 100解: 令f(x)?取x0x,则
991?100f?(x)?x
100?1,?x?0.002,得1001.002?f(1)?f?(1)?x?1?01?0.002?1.00002 100(2) cos29
解:令f(x)?cosx,则f?(x)??sinx
取x0?30??6,?x??1???180,
得cos29?cos???3? ?(?sin)?(?)??66180236011?x2(3) arcsin0.5002
解:令f(x)?arcsinx,则f?(x)? 取x0?0.5,?x?0.0002,得
11?(0.5)2?0.0002?arcsin0.5002?arcsin0.5??6?3 7500★★ 8.为了计算出球的体积(精确到
1%), 问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少?
知识点: 微分的定义
思路: 当|?x|很小时, ?y?dy
4D3?D3dV解:球的体积V??()? ??326V由题目已知条件可知|?D22dD??D363dD DdVdD1|?1% ?||??0.0033 VD300★★ 9.扩音器插头为圆柱形,截面半径r为0.15cm,长度l为4cm,为了提高它的导电性能,要在该圆柱的侧
面镀上一层厚为0.001cm的纯铜,问每个插头约需多少克纯铜?
知识点: 微分的定义
思路: 当|?x|很小时, ?y?dy
2解:圆柱底面积S??r ?dS?2?rdr
?镀层的体积dV?dS?l?2?rldr?2??0.15?0.001?4?3.768?10?3cm3 ?m??dV?8.9?3.768?10?3?3.354?10?2(g)
★★ 10.某厂生产一扇形板,半径
R?200mm ,要求中心角?为55,产品检测时,一般用测量弦长L0的方法来间接测量中心角?.如果测量弦长L时的误差?L多少?
?0.1mm,问由此而引起的中心角测量误差是
知识点: 微分的定义
思路: 当|?x|很小时, ?y?dy
解:
LL?L???2arcsinsin?2?2R 2R2R
?d???4R?L22dL,又L?2Rsin?2?2?200?sin22.5?184.7
????d??总习题二
★★ 1.设
2?0.14?(200)?184.722?0.00056(弧度)
f?(x)存在，求limh?0f(x?2h)?f(x?3h)
h知识点：导数的定义
f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)求极限
h?0hf(x?2h)?f(x?3h)f(x?2h)?f(x)?f(x)?f(x?3h)?lim解：lim
h?0h?0hhf(x?2h)?f(x)f(x?3h)?f(x)?3lim?2f?(x)?3f?(x)?5f?(x) ?2limh?0h?02h?3h思路：利用导数的定义式lim★★ 2．设
f(x)?x(x?1)(x?2)(x?1000)，求f?(0).
知识点: 导数的四则运算法则
思路: 含有x的项为零,所以只需要求出导数不含x的 解: f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?lim(x?1)(x?2)x?0x?0(x?1000)?1000!
★★★ 3.设
f(x)对任何x满足f(x?1)?2f(x),且f(0)?1,f'(0)?C(常数),求f'(1).
知识点: 导数的定义
思路: 关键凑出导数定义的极限形式
解:由f(x?1)?2f(x).得 f(1)?2f(0)?2
f(x)?f(0)f(x)?1?lim?C
x?0x?0xxf(x)?f(1) 而f?(1)?lim 令x?1?t,则x?t?1,当x?1时,t?0
x?1x?1f(x)?f(1)f(t?1)?22f(t)?2?lim?lim?limf?2C 即f?(1)?2C x?1t?0t?0x?1ttf?(0)?C ?lim★★ 4.设函数
f(x)对任何实数x1,x2有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)且f?(0)?1,证明:函数
f(x)可导,且f?(x)?1.
知识点: 导数的定义
思路: 关键凑出导数定义的极限形式
?f2( 0 )?0解:由f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(0) ?f(0)
?f?(x)?limf(x??x)?f(x)f(x)?f(?x)?f(x)?lim?x?0?x?0?x?x
f(?x)f(0??x)?f(0)?lim?lim?f?(0)?1?x?0?x?0?x?x5.求解下列问题:
★ (1)求
y?lnx?ex的反函数x?x(y)的导数;
知识点: 反函数的导数
思路: 反函数的导数等于原函数导数的倒数
1x1x1?xex?解:y???e? ?x?(y)? y?1?xexxx★ (2)设
y?f(x)是x??(y)的反函数,且f(2)?4,f?(2)?3,f?(4)?1,求?'(4).
知识点:反函数的导数
思路: 关键是理解反函数和原函数之间的关系,反函数中的自变量的值是原函数的函数值 解:由f(2)?4,f?(2)?3得??(4)?11? f?(2)3★ 6.在抛物线
y?x2上取横坐标为x1?1及x2?3的两点,作过两点的割线,问抛物线上哪一点的切线
平行于这条割线?
知识点:导数的几何意义
思路: 切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解 解:当x?1时,y?1; 当x?3时，y?9
?过点(1,1)和点(3,9)的直线的斜率为k?9?1?4 3?1设点P(x0,y)处的切线平行于这条割线，则f?(x0)?4
?2x0?4，即x0?2 ?y0?4，即P(2,4)
★★ 7.求与直线
x?9y?1?0垂直的曲线y?x3?3x2?5的切线方程.
知识点:导数的几何意义
思路: 切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解 解:y??3x2?6x 直线x?9y?1?0的斜率为k??设点P(x0,y0)处的切线与直线垂直,则
23x0?6x0?9?x0??1或x0?3
1 9当x0??1时,y0?1;当x0?3时,y0?5
?点P为(-1,1)或(3,5)
?切线方程为y?1?9(x?1)即y?9x?10?0或y?5?9(x?3)，即y?9x?22?0
★★ 8.讨论函数
y?x|x|在点x?0处的可导性.
知识点: 导数的定义
思路: 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等
?x2,x?0解:y?x|x|??2
??x,x?0f(x)?f(0)x2?f??(0)?lim?lim?0?x?0?x?0xx ) ?f(x)在x?0处可导. f??(0)?f_?(0f(x)?f(0)?x2f_?(0)?lim?lim?0?x?0?x?0xx
★★ 9.设函数
?x2,x?1,为了使函数f(x)在x?1处连续且可导,a,b应取什么值 f(x)???ax?b,x?1知识点:连续与可导的定义
思路: 利用连续与可导的定义的方程组求解
f(x)?limf(x)?f(1) 解：要使f(x)在x?1处连续，则lim??x?1x?1?a?b?1
要使
f(x)在x?1处可导，则f??(1)?f_?(1)
x?1而
f??(1)?lim?f(x)?f(1)ax?b?1?lim?a, x?1?x?1x?1f(x)?f(1)x2?11 f_?(1)?lim?lim?lim(x?1)?2 ?a?2 ?b??x?1?x?1?x?1x?1?x?1★★ 10.试确定a,b，使
?b(1?sinx)?a?2,x?0在x?0处可导. f(x)??axe?1,x?0?知识点: 连续与可导的定义
思路: 可导一定连续,由连续性和可导得方程组求解 解：若f(x)在x?0处可导，则f(x)在x?0处连续
?limf(x)?lim?f(x)?f(0) ?a?b?2?0① ?x?0x?0要使
f(x)在x?0处可导，则f??(0)?f_?(0)
x?0而
f??(0)?lim?f(x)?f(0)b(1?sinx)?a?2?lim??lim(bcosx)?b x?0?x?0?xxf(x)?f(0)eax?1axf_?(0)?lim?lim?lim(ae)?a ?a?b②
x?0?x?0?x?0?xx由①②得a?b??1
3f(x)在[-1,1]上定义,且满足x?f(x)?x?x,?1?x?1,证明f?(0)存在,且
★★ 11.设函数
f?(0)?1.
知识点: 导数的定义
思路: 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等 解：由x?f(x)?x?x,x?[?1,?1],得
30?f(0)?0 ?f(0)?0
当x而
?0时1?f(x)?x2?1 xx?0lim(x2?1)?1 ??由夹逼准则知lim?f(x)?1
x?0xf(x)?f(0)f(x)?f??(0)?lim?lim?1
x?0?x?0?xxf(x)2?1 当x?0时x?1?x而
x?02lim(x?1)?1 ??由夹逼准则知lim?f(x)?1
x?0xf(x)?f(0)f(x)?f_?(0)?lim?lim?1 ?x?0?x?0xx? 1又?f??(0)?f_?(0)?1 ?f?(0)