★★★ 7.已知
?ax2?bx?c,x?0在x?0处有二阶导数,试确定参数a,b,c的值. f(x)??x?0?ln(1?x),知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系
思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解 解:
f(x)在x?0处有二阶导数 ?f(x)在x?0处连续，且f?(x)在x?0处连续
x?0从而有
2lim?f(x)?f(0)，即lim(ax?bx?c)?0 ?c?0
?x?0 又
f(x)在x?0处可导 ?f??(0)?f??(0)
x?0 而
f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?lim?1 x?0?x?0x
f(x)?f(0)ax2?bxf_?(0)?lim?lim?b
x?0?x?0?x?0x ?b?1，且
f??(0)?f??(0)?1
?2ax?1,x?0?1? ?f?(x)??,x?0
1?x?,x?0??1 又
f(x)在x?0处二阶可导 ?f???(0)?f???(0)
1?1f?(x)?f?(0)1?x??(0)?lim 而 f??lim??1 ??x?0x?0xxf?(x)?f?(0)(2ax?1)?1?lim?2a f???(0)?lim?x?0?x?0xx1 ?2a??1，即a??
28.求下列函数所指定阶的导数:
知识点：高阶导数
思路: 利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数
★ (1)
y?excosx,求y(4);
?ex?4ex(?sinx)?6ex(?cosx)?4exsinx?(?cosx)
y?xlnx,求y(n);
解:y(4)★★ (2)
(n)解:y?x(lnx)(n)?n(lnx)(n?1)?x(?1)n?1(n?1)!n?2(n?2)!?n?(?1) xnxn?11,求y(n); 2x?3x?2111??解:y?2
x?3x?2x?2x?1★★ (3)
y??y(n)?(★★ (4)
1(n)1(n)n!n!n)?()?(?1)n?(?1)x?2x?1(x?2)n?1(x?1)n?1
y?sin4x?cos4x,求y(n).
4422222解:y?sinx?cosx?(sinx?cosx)?2sinxcosx?1?(n)?y?
1231sin2x??cos4x 2441?(cos4x)(n)?4n?1cos(4x?n?) 42d2ydy2x??ye?0. ★★★ 9.作变量代换x?lnt简化方程2,dxdx知识点: 高阶导数
思路: 利用链式法则求导
dydydx1dydydy?????t解: dtdxdttdx dtdt
d2yddyd1dy1dy1ddy1dy1d2ydx?()?()??2?()??2?? 又dt2dtdtdttdxtdxtdtdxtdxtdx2dt1dy1d2y?22 ??tdttdxd2y2d2ydy?2?t?tdxdt2dt
d2yd2y2?yt?0 即 2?y?0 代入方程得tdt2dt2习题2-4
1.求下列方程所确定的隐函数
y的导数
dydx:
知识点: 隐函数的导数
思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合
函数求导法则求之,然后从所得等式中解出
dy dx★(1)
xy?ex?y;
x?y解:方程两边同时对x求导,得 y?xy??e(1?y?)
y?ex?y 解得y??x?ye?x★ (28)
xy?sin(?y2)?0;
解:方程两边同时对x求导,得 y?xy??cos(?y2)?2?yy??0
解得
y??y2?ycos(?y2)?x
★ (3)
exy?y3?5x?0;
解:方程两边同时对x求导,得 exy?(y?xy?)?3y2y??5?0
5?yexy 解得y??xexy?3y2★ (4)
y?1?xey;
解:方程两边同时对x求导,得 y??ey?xeyy?
ey 解得y??1?xey★ (5)arctan
y?lnx2?y2x解:方程两边同时对x求导,得
.
2x?2yy?y?x?y22x2?2x?y 即?y?xy??x?yy? 解得y??x?y y2x?yx2?y21?2xd2y2.求下列方程所确定的隐函数y的导数: 2dx知识点: 隐函数的导数,高阶导数
思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合
函数求导法则求之,然后从所得等式中解出求导
★★ (1)
dy,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则dxb2x2?a2y2?a2b2
22'b2x解:方程两边同时对x求导,得 2bx?2ayy??0 解得y??2
ayb2y?xy?b2a2y2?b2x2b2a2b2b4?y????2???2???2?23??23
ay2aa2y3aayay★★ (2)siny?ln(x?y);
解: 方程两边同时对x求导,得 cosy?y??11 (1?y?) 解得y??(x?y)cosy?1x?y(1?y')cosy?(x?y)(?siny)?y'(x?y)cos2y?(x?y)siny?y????2
[(x?y)cosy?1][(x?y)cosy?1]3''★★ (3)
y?tan(x?y).
解: 方程两边同时对x求导,得 y??sec2(x?y)(1?y?)
?sec2(x?y)122 解得y????1???1?cot(x?y)??csc(x?y) 22sec(x?y)?1sec(x?y)?1 ??2csc2(x?y)cot3(x?y)
3.用对数求导法则求下列函数的导数:
知识点: 对数求导法
思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数
★ (1)
y?(1?x2)tanx;
2解:等式两边同时取对数,得 lny?tanxln(1?x)
等式两边同时对x求导,得
12xy??sec2xln(1?x2)?tanx?y1?x22xtanx] 21?x
?y??(1?x2)tanx[sec2xln(1?x2)?5★★ (2)
y?x?333x?2
x?2解: 等式两边同时取对数,得
111lny?ln(x?3)?ln(3x?2)?ln(x?2)
532等式两边同时对x求导,得
11(x?3)?1(3x?2)?1(x?2)?y??????? y5x?333x?22x?2?y??5x?333x?2111[??] 5(x?3)3x?22(x?2)x?2★★ (3)
y?x?2(3?x)4(x?1)5
解:等式两边同时取对数,得
1ln(x?2)?4ln(3?x)?5ln(x?1) 2等式两边同时对x求导,得 lny?11145 y?????y2x?23?xx?1?y??★ 4.设函数
x?2(3?x)4145[??] 5(x?1)2(x?2)3?xx?1y?y(x)由方程y?xey?1确定,求y?(0),并求曲线上其横坐标x?0处点的切线方程
与法线方程.
知识点:隐函数导数和导数的几何意义
思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合
函数求导法则求之,然后从所得等式中解出
dy dxyey解: 方程两边同时对x求导,得 y??e?xey??0 解得 y??1?xeyy
当x?0时,y?1 ?在x?0处切线的斜率k?y?(0)?e
?0处的切线方程为y?1?ex,即y?ex?1
?x 法线方程为
11y?1??x,即y??x?1
ee?x?ln(1?t2)★★ 5.求曲线?在t?1对应点处的切线方程和法线方程.
?y?arctant知识点: 参数方程表示的函数的导数
思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导
1dy1dy1?t21解:?? ?|t?1?
2tdx2dx2t21?t?当t?1时,x?ln2,y?
4?111?? 在t?1对应点处的切线方程为y??(x?ln2), 即y?x?ln2?
42224????2(x?ln2), 即y??2x?2ln2? 法线方程为y?44