解得
y???xy ?点(?131322a,a)处切线的斜率为k?y?|22??1
(a,a)4444?切线方程为y?222a??(x?a)，即x?y?a?0 44222a?x?a，即x?y?0 44?x确定y为x的函数,求
dy|x?0. dx 法线方程为
y?★★ 24.设方程sin(xy)?ln(y?x)知识点:隐函数导数
思路: 将方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复
合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出
dy dx解：方程两边同时对x求导,得cos(xy)(y?xy?)?y??1?1 y?x 解得
y??y?x?y(y?x)cos(xy)?1
1?x(y?x)cos(xy)dy|x?0?y?|(0,? 1)1dx 将x?0代入方程,得y?1 ?25.用对数求导法则求下列函数的导数:
知识点: 隐函数求导
思路: 方程两边同时取对数,利用对数性质化简函数,再利用隐函数的求导方法求导数
★★ (1)
y?xsinx1?ex; 解:两边同时取对数,得lny?11[lnx?lnsinx?ln(1?ex)] 22111cosxex 两边同时对x求导,得y??[??] xy2xsinx2(1?e)1exx1 ?y??xsinx1?e[?cotx?]
2x2(1?ex)★★ (2)
y?(tanx)sinx?xx.
sinx解: y?(tanx)?xx?esinxlntanx?exlnx
y??esinxlntanx两边同时对x求导,得
sec2x(cosxtanx?sinx?)?exlnx(lnx?1)
tanx ?(tanx)sinx(cosxtanx?secx)?xx(lnx?1)
★★★ 26.设函数
y?y(x)由方程ey?xy?e所确定，求y??(0).
知识点:隐函数求导法
思路: 先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将y看作中间变量,利用复合函
数求导法求之
解:方程两边同时对x求导,得ey?y??y?xy??0
yy?(ey?x)?y(ey?y??1)解得y???y ?y????
e?x(ey?x)3将x?0代入方程得y?1 ?y??(0)?1 2ed2y27.求下列方程所确定的隐函数y的导数: 2dx知识点:隐函数求导法
思路: 先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将y看作中间变量,利用复合函
数求导法求之
★★ (1)
y?tan(x?y)；
解:等式两边同时对x求导,得y??sec2(x?y)(1?y?) 解得y???1 2sin(x?y)2cos2(x?y)?y???(1?y?) 将y?代入得y????3 3sin(x?y)sin(x?y)★★ (2)
1x?y?siny?0.
21cosy?y??0 2解: 方程两边同时对x求导,得1?y?? 解得
y??2?2siny?y? ?y???
2?cosy(2?coys2)?4siny 3(2?cosy)f(y) 将
y?代入得y???★★★ 28.设
y?y(x)由方程xe?ey所确定,
f(u)二阶可导且
d2yf?1,求2.
dx知识点: 隐函数的导数
思路: 利用对数求导法求一阶导数,再求二阶导数 解：等式两边同时取对数,得lnx?f(y)?y
等式两边同时对x求导,得
11?f?(y)y??y? ?y??
?xx[1?f(y)]d2y1?f?(y)?x[?f?(y)y?][f?(y)?1]2?f??(y) ?2?? ??2223??dxx[1?f(y)]x[1?f(y)]d2y29.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数2:
dx知识点: 参数方程表示的函数的导数
思路: 求二阶导数时将t看作中间变量,利用复合函数求导法则求之
★★ (1)??x?acost;
y?bsint?dyd2yddydbdtbdydtbcostb?()??(cot?st)??解: ?????cost?t 223dxdxdxdxdtadxasintdxasintadt?x?f?(t)★★ (2)?,f??(t)?0.
?y?tf(t)?f(t)?dydyd2yddyddt1dt解: ???t ?()?t(?)?2dxdxdxdxdxdtdxf??(t)dt?x?2t?1d2y|?( ) ★★★ 30.设由方程组?确定了y是x的函数，则2t?0ydxte?y?1?0?知识点: 参数方程表示的函数及隐函数的导数
思路: 求二阶导数时将t看作中间变量,利用复合函数求导法则求之
(A)
1e2; (B)
12e2 (C) ?1 (D)?1e2e
y解:在方程te?y?1?0的两边同时对t求导,得e?te?yydydy??0 dtdtdxdyey?2 ??y解得 由x?2t?1得dtdtte?1dydydteyd2yddy ??????()?dxdx2(tey?1)dx2dxdxdt★★★ 31.设函数
d(?dt2(edt )?y?te1)dxyy?f(x)由方程xd2yy?x(x?0,y?0)所确定，求2.
dxy知识点: 隐函数的导数
思路: 利用对数求导法,在等式两边同时取对数,再求隐函数的导数 解: 方程两边同时取对数,得
11lny?lnx.即ylny?xlnx xy等式两边同时对x求导,得y?lny?y??lnx?1
?y??lnx?1
lny?111(lny?1)?(lnx?1)y?2dyxy(lny?1)2?x(lnx?1)2y?2?? dx(lny?1)2xy(lny?1)3★★★ 32.设函数
y?f(x)的极坐标式为??a(1?cos?),求
dy. dx知识点:参数方程表示的函数的导数
思路: 利用函数的极坐标形式转化为参数方程
?x??cos??a(1?cos?)cos?解:由??a(1?cos?)得?
y??sin??a(1?cos?)sin??dy?asin2??a(1?cos?)cos?cos2??cos? ????dx?asin?cos??a(1?cos?)sin?sin2??sin?★★★ 33.设一质点的运动方程为??x?3sin?t?4cos?t,求质点在t?0时的运动速度及加速度的大
y?4sin?t?3cos?t?小(?为大于零的常数).
知识点: 参数方程表示的函数的导数
dy思路: 由导数的意义知v(t)?dx解: v(t)?d2y,而a(t)?
dx2dy4cos?t?3sin?t? dx3cos?t?4sin?td2yddyd4cos?t?3sin?tdt?25 a(t)? ?()?()?dx2dxdxdt3cos?t?4sin?tdx(3cos?t?4sin?t)3 ?v(0)?425,a(0)?? 32734.求下列函数的微分:
知识点`: 函数微分的定义
思路: 利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则先求导数,即得函数微分
★★ (1)
y?e?xcos(3?x);
?x解: y???e?xcos(3?x)?e?xsin(3?x) ?dy?e[sin(?3x?) xcos?(x3d)★★ (2)
y?arcsin1?x2; (1?x2)?1?(1?x)2解:y????x|x|1?x2 ?dy??x|x|1?x2d x★★ (3)
y?tan2(1?2x2).
解:y??2tan(1?2x2)?[tan(1?2x2)]??8xtan(1?2x2)sec2(1?2x2) ?dy?8xtan(1?2x2)sec2(1?2x2)dx
★★ 35.设
y?f(lnx)ef(x),其中f可微,求dy.
知识点`: 函数微分的定义
思路: 利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则先求导数,即得函数微分
11f?(lnx)ef(x)?f(lnx)ef(x)?f?(x)?ef(x)[f?(lnx)?f(lnx)?f?(x)] xx1?dy?ef(x)[f?(lnx)?f(lnx)?f?(x)]
x解: y??dy,★★★ 36.已知y?cosx,求dx2dy,dx2dy,dx3d2y. dx2知识点: 微分的定义 思路: 先求微分,得微商
dydy?2xsinx2dx2??2xsinx 2???sinx2 解: dxdx2xdxdy?2xsinx2dx2sinx2???dx33x2dx3xd2yddyd2222?()?(?2xsinx)??2sinx?4xcosx 2dxdxdxdx课外习题
★★ 1.设
f(x)可导,求下列函数得导数
dy: dx知识点: 复合函数的导数 思路: 利用链式法则求导数
(1)
y?f(x2);
dy?f?(x2)?(x2)??2xf?(x2) dx解: