★★ 12.设??x?2t?|t|dy|t?0. ,求2?y?5t?4t|t|dx知识点: 导数的定义
思路: 求分段函数在分段点的导数, 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等
?y5?t2?4?t|?t|9?t2解:lim??lim??lim??0 ?t?0?x?t?0?t?03?t2?t?|?t|?y5?t2?4?t|?t|?t2lim?lim??lim??0 ?t?0??x?t?0?t?02?t?|?t|?t13.求下列函数的导数:
?t?0lim??y?ydy?lim?|t?0?0 ??t?0?x?xdx知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则
思路: 利用导数的四则运算法则和链式法则求导数
★ (1)
y?(3x?5)3(5x?4)5;
解：y??9(3x?5)2(5x?4)5?25(3x?5)3(5x?4)4
★ (2)
y?arctanx?1; x?1解：y??1x?11?()???2
x?12x?1x?11?()x?11?x?1?x; 1?x?1?x★★ (3)
y?解：y?1?x?1?x2xx ??221?x?1?x(1?x?1?x)1?1?x1?1?x2?x(?2x2?y??y?21?x(1?1?x2)2)?11?x?1?x22 lnx; xlnx1n1??n?lnx?x?n ?y???x?n?lnx(??n?x)?(x解：y?xx★ (4)
1?)?(n?nx?1)ln xet?e?t★ (5)y?; t?te?e(et?e?t)2?(et?e?t)24解：y?? ?(et?e?t)2(et?e?t)2★ (6)
y?xa?ax?aa;
解：y??axa?1?axlna
★★ (7)
y?etan1x;
解：y??etan1x1tan111?(tan)??ex?sec2?(?2)
xxx★★ (8)
y?x?x; 解：y??(x?x)?2x?x?2x
2x?x1?1★★ (9)
y?xarcsinx?4?x2. 2解:y??arcsinx?x?212x1?()22?x?arcsin
224?x2?2x111?x2?12★★ 14.设y?,求y? arctan1?x?ln2241?x?1知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则
思路: 先利用对数的性质化简函数, 再利用导数的四则运算法则和链式法则求导数
111?x2?12解：y?arctan1?x?ln 2241?x?111x2112?arctan1?x?ln?arctan1?x2?[lnx?ln(1?x2?1)] 24(1?x2?1)2221(1?x2)?11(1?x2?1)?1?y????[?]?? 22221?(1?x2)22x1?x?1x(2?x)1?x15.设
f(x)为可导函数,求
dy: dx知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则 思路: 利用导数的四则运算法则和链式法则求导数
★★ (1)
y?f(ex?xe);
xexexexe?1解：y??f?(e?x)?(e?x)??f?(e?x)?(e?ex★★ (2)
)
y?f(ex)ef(x).
解：y??f?(ex)?ex?ef(x)?f(ex)?ef(x)?f?(x)?ef(x)[f?(ex)?ex?f(ex)?f?(x)]
★★ 16.设
13x?0时，可导函数f(x)满足：f(x)?2f()?xx1x,得方程组求解
，求
f?(x)(x?0).
知识点: 函数的定义
思路: 由已知条件可将自变量x换为解：由f(x)?2f()?1x3x①得
1f()?2f(x)?3x② x311 ?f(x)?2x? ?f?(x)?2?2 xxxdy3x?2),f?(x)?arctan(x2),求|x?0. ★★ 17.已知y?f(dx3x?2②?2?①得3f(x)?6x?知识点: 复合函数的导数
思路: 利用链式法则求导 解:
dy3x?23x?23x?2212?f?()?()??arctan()? dx3x?23x?23x?2(3x?2)2?dy3?|x?0?arctan1?3? dx418.求下列函数的二阶导数:
知识点: 高阶导数
思路: 利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导
★ (1)
y?(1?x2)arctanx;
2解：y??2xarctanx?(1?x)?1?2xarctanx?1 1?x2?y???2arctanx?★ (2)
2x 21?xy?ln(x?1?x2).
1?x12?111?x?(1?x2?x)(1?x2?x)???(1?x2)2 解：y??x?1?x21?x21?x23?12?y????(1?x)2
2★★★ 19.试从
dx1?导出: dyy?知识点:高阶导数
思路: 要分清求导的变量,求导过程中y?表示对自变量x的导数
d2xy??(1); ??23dy(y??)d2xddxd1d1dxy??1y??解：2? ()?()?()??????dydydydyy?dxy?dy(y?)2y?(y?)3d3x3(y?)2?y?y???(2). ?35dy(y?)d3xdd2xdy??dy??dx解：3?(2)?(?)?(?)? 33??dydydydy(y)dx(y)dyy????(y?)3?3(y?)2y???y??13?(y??)2?y????y? ?? ??65(y?)y?(y?)★★★ 20.已知函数
f(x)具有任意阶导数，且f?(x)?[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的
n阶导数
f(n)(x)是( A )
知识点: 高阶导数
思路: 利用归纳推理法
(A)n![f(x)]n?1;(B)n[f(x)]2n?1;(C)[f(x)]2n;
解：f?(x)?[f(x)]
?f??(x)?2f(x)?f?(x)?2![f(x)]3
24 f???(x)?6[f(x)]?f?(x)?3![f(x)]
(4) f(x)?24[fx(3)?]?ff(n)?n![f(x)]n?1
x(?)5 ()]4f![x归纳可得
21.求下列函数所指定阶的导数：
知识点: 高阶导数
思路: 通过函数变形, 利用已知的高阶导数公式间接求出指定的高阶导数,对乘积函数利用莱布尼茨公式
求n阶导数
★★ (1)
y?1(n),求y； 2x?5x?6解：y?1111??? 2x?5x?6(x?2)(x?3)x?3x?2?y(n)?(1(n)1(n)n!n!(n) )?()?(?1)(n)??(?1)?n?1n?1x?3x?2(x?3)(x?2)
4x2?1(n)★★★ (2)设y?，求y； 2x?14x2?14(x2?1)?33311解：y?2??4??4?(?)
x?1x2?1(x?1)(x?1)2x?1x?131(n)31(n)3n!n!?y(n)?()?()?(?1)(n)[?]
2x?12x?12(x?1)n?1(x?1)n?1★★★ (3)
y?x2sin2x，求y(50).
0212解：y(50)?C50x(sin2x)(50)?C50(x2)?(sin2x)(49)?C50(x2)??(sin2x)(48)
?250sin(2x?25?)?100x?249sin(2x??250(?x2sin2x?50xcos2x?★★★ 22.设
49?)?1225?248sin(2x?24?) 21225sin2x) 2f(x)?arctanx,求f(n)(0).
知识点: 高阶导数
思路: 转化为乘积函数,利用莱布尼茨公式求n阶导数 解：f?(x)?12 ?(1?x)f?(x)? 121?xn(n?1)(n?1)f(x)?2?0 2等式两边同时求n阶导数,并由莱布尼茨公式,可得
f(n?1)(x)(1?x2)?nf(n)(x)?2x??当x?0时,有f(n?1)(0)?n(n?1)f(n?1)(0)?0
?f又
(n?1)((0)??nn(?1)fn?1)n*?)3) (0),((f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?0 ?由(*)式递推,可得
f(2k)(0)?0,f(2k?1)(0)?(?1)k(2k!)(k?0,1,2)
★★ 23.求曲线
x?y?a232323在点(22a,a)处的切线方程和法线方程. 44知识点: 导数的几何意义
思路: 利用隐函数的求导方法求出导数,得切线斜率
2?12?1'3解：方程两边同时对x求导,得x?y3y?0
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