解:y?11[lne4x?ln(e4x?1)]?2x?ln(e4x?1) 2211(e4x?1)?2e4x4x?y??[2x?ln(e?1)]??2??4x?2?4x
22e?1e?1(12)
y?e?sin21x.
11?sin2?sin2111111x?(?sin)??e?(?2sin)?(sin)??ex?(?2sin)?(cos)?()?
xxxxxx2解:y??e?sin21x1?sin212xsin ?2exx★★ 7.设
f(x)为可导函数,求
dy: dx知识点：复合函数的导数
思路：利用链式法则求复合函数的导数
(1)
y?f(x3);
解:y??f?(x3)?(x3)??3x2f?(x3)
(2)
y?f(sin2x)?f(cos2x);
222222解:y??f?(sinx)?(sinx)??f?(cosx)?(cosx)??sin2x[f?(sinx)??f?(cosx)] (3)y?f(arcsin).
解:y??f?(arcsin)?(arcsin)??f?(arcsin)?1x1x1x1x11?1x2?(?1) 2x ??f?(arcsin)?11 2x|x|x?1★★ 8.设
f(1?x)?xe?x,且f(x)可导,求f?(x).
知识点：抽象函数的导数
思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数 解:令1?x?t,则x?1?t
?f(t)?(1?t)e?(1?t)?(1?t)et?1 ?f(x)?(1?x)ex?1 ?f?(x)?[(1?x)ex?1]??(1?x)?ex?1?(1?x)(ex?1)???xex?1
★★ 9.设
f(u)为可导函数，且f(x?3)?x5，求f?(x?3),f?(x).
知识点：复合函数的导数
思路：f?(x?3)表示对(x?3)的导数，f?(x)表示对x的导数，注意求导的变量 解: 由f(x?3)?x5有 f(x?3)?[(x?3)?3]5
?f?(x?3)?5[(x?3)?3] 令x?3?t,则x ?4?1?5x4
?t?3
f(t)?(t?3)5 ?f(x)?(x?3)5 ?f?(x?3)?(x5)??5x4
1xf()?，求f?(x). x1?x★★ 10.已知
知识点：抽象函数的导数
思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数
11?t,则x? xt11111)??? ?f(x)? ?f?(x)?( ?f(t)?t?211?t1?x1?x(1?x)1?t解:令
★★ 11.已知
?(x)?af2(x),且
f?(x)?1,证明??(x)?2?(x).
f(x)lna知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数 解:??(x)?af由
2(x)?lna?[f(x)]??2af22(x)lna?f(x)?f?(x)
???(x)?2af2(x)f?(x)?11，得f?(x)?f(x)?lnaf(x)lna?2?(x)
★★ 12.设
f(x)在(??,??)内可导,且F(x)?f(x2?1)?f(1?x2),证明:F?(1)?F?(?1)
知识点: 复合函数的导数
思路: 利用链式法则求导
解:由F(x)?f(x?1)?f(1?x),有
22F?(x)?f?(x2?1)?2x?f?(1?x2)?(?2x) ?F?(1)?2f?(0)?2f?(0)?0
F?(?1)??2f?(0)?2f?(0)?0 ?F?(1)?F?(?1)
★ 13.求下列函数的导数:
知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数
(1)
y?ch(shx);
解:y??sh(shx)?(shx)??sh(shx)?chx
(2)
y?shx?echx;
解:y??(shx)??echx?shx?echx?(shx)??chx?echx?shx?echx?shx?echx(chx?sh2x)
(3)
y?th(lnx);
解:y??11? ?(lnx)?ch2lnxx?ch2(lnx)(4)
y?sh3x?ch2x;
解:y??3sh2x?(shx)??2chx?(chx)??3sh2x?chx?2chx?shx
(5)
y?arch(e2x);
2x解:y??[arch(e)]??1e4x?1?(e2x)??1e4x?1?2e2x
(6)
y?arsh(1?x2).
解:y??习题2-3
11?(1?x)2?(1?x2)??2x1?(1?x)2 ★ 1.求下列函数的二阶导数:
知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导
(1)
y?x5?4x3?2x;
423解:y??5x?12x?2 y???20x?24x
(2)
y?e3x?2;
3x?2解:y??e(3)
?(3x?2)??3e3x?2 y???3e3x?2?(3x?2)??9e3x?2
y?xsinx;
解:y??x?sinx?x(sinx)??sinx?xcosx
y???(sinx)??x?cosx?x(cosx)??2cosx?xsinx
(4)
y?e?tsint;
解:y??(e?t)?sint?e?t(sint)??e?t(cost?sint)
y???(e?t)?(cost?sint)?e?t(cost?sint)???2e?tcost
(5)
y?1?x2; 解:y??(1?x2)?21?x2??x1?x2
y????x?1?x2?x(1?x2)?(1?x)221?x2?x(?x??1?x21?x2)??1(1?x)23
(6)
y?ln(1?x2);
(2x)?(1?x2)?2x(1?x2)?2(1?x2) y???? ??2222(1?x)(1?x)(1?x2)?2x??解:y??1?x21?x2(7)
y?tanx;
解:y??sec2x y???2secx?(secx)??2secx2tanx
(8)
y?1;
x2?1
?(x2?1)?2x解:y????(x2?1)2(x2?1)2(2x)?(x2?1)?2x?[(x2?1)2]?2(x2?1)?2x?2(x2?1)2?2x6x2?2y???????2(x2?1)4(x2?1)4(x?1)3(9)
y?xex2.
22222解:y??x?ex?x(ex)??ex?xex(x2)??ex(1?2x2)
y???(ex)?(1?2x2)?ex(1?2x2)??2xex(1?2x2)?ex?4x?2xex(3?2x2)
★ 2.设
22222f(x)?(3x?1)10,求f???(0).
知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:f?(x)?10(3x?1)?(3x?1)??30(3x?1)
99f??(x)?30?9(3x?1)8(3x?1)??810(3x?1)8
?194 40f???(x)?810?8(3x?1)7(3x?1)??19440(3x?1)7 ?f???(0)★ 3.已知物体的运动规律为s?Asin?t(A,?是常数),求物体运动的加速度,并验证:
d2s??2s?0. 2dt知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:s??A?cos?t s???A?2sin?t
d2sd2s2?a?2??A?sin?t ?2??2s??A?2sin?t?A?2sin?t?0
dtdt★ 4.验证函数
y?C1e?x?C2e??x(?,C1,C2是常数)满足关系式: y????2y?0
知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:y??C1?e?x?C2?e??x y???C1?2e?x?C2?2e??x
?y????2y??2(C1e?x?C2e??x)??2(C1e?x?C2e??x)?0
★★ 5.设
g?(x)连续,且f(x)?(x?a)2g(x),求f??(a).
知识点: 导数的定义
思路: 因为g??(x)不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求 解:f?(x)?2(x?a)g(x)?(x?a)g?(x) ?f?(a)?0
又
2g?(x)连续,但g?(x)不一定存在 ?limg?(x)?g?(a)
x?a?f??(a)?limx?af?(x)?f?(a)f?(x)?lim?lim[2g(x)?(x?a)g?(x)]?2g(a) x?ax?ax?ax?a★★ 6.若
d2yf??(x)存在,求下列函数的二阶导数2:.
dx知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 (1)y?f(x);
解:y??f?(x)?3x ?y???6xf?(x)?3xf??(x)?3x?6xf?(x)?9xf??(x) (2)y?ln[f(x)].
3232323433f?(x)f??(x)?f(x)?[f?(x)]2解:y?? ?y???f(x)[f(x)]2