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x?1
令
H?(x)?0，因为
a?0，解得或
x??12a（舍） …………………8分
当x?(0,1)时,
当
x?(1,??)H?(x)?0,
H(x)是减函数； H?(x)?0
是
增
函
时, ，
H(x)数. …………………10分
1H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点,
e只需
?1?H(e)?0,??H(x)min?0,?H(e)?0,??
…………………13分
?a1?2a(1?2a)e?a?e2?0,?2?e?1?2ee?即? ?H(1)?a?(1?2a)?1?a?0,?ae2?(1?2a)e?1?(e2?2e)a?(e?1)?0,????e2?e?a?2e?1,??∴ ?a?1,?1?e?a?2,e?2e??
解得
e2?e(1,) 2e?1e2?e1?a?2e?1, 所以a的取值范围是
． …………………14分
注：若有其它解法，请酌情给分． 4解：（Ⅰ）f(1)?f(0)?f(x)?f(1?x)=
55?55?51?5=1；
?5?5x5?5?5x55?5x?51?x?5=
55?5x=1；……………………
…………４分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
kkf()?f(1?)?1 (1?k?m?1)mm,即
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km?kf()?f()?1 , ?ak?am?k?1, mm由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, …………② 由
①
＋
②,
得分
115?5，…10Sm?(m?1)??f(1)?(m?1)??2Sm?(m?1)?1?2am,∴
224b1?（Ⅲ） ∵
1,bn?1?b2对任意的n?N*, bn?0. n?bn?bn(bn?1),∴2
∴1bn?1?111111??,即??bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1.
.
∴Tn?(111111111?)?(?)???(?)???2?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵数列{bn}是单调递增数列. bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴n?0, ∴Tn关于n递增. 当n?3, 且n?N?时, Tn?T3.
b1?∵
111333212121777,b2?(?1)?, b3?(?1)?,b4?(?1)?222444161616256
∴Tn∴
?T3?2?1256?2?.∴4Sm?777T3?5, b4777m?650.5.而m为正整数， ∴
m的最大值为
650. …………………………………………………………………………………1４分 5解：（1）由已知过An(xn,yn)斜率为?
y?yn??xn?12xn?4xn的直线为
xn?1(x?xn)， 2xn?4xn直线交曲线C于另一点An?1(xn?1,yn?1) 所以yn?1?yn=?xn?1(xn?1?xn) 2xn?4xn 2
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分 即
1xn?1?x?11(xn?1?xn)，xn?1?xn≠0， ??2nxnxn?4xnxn?4(n?N*) xn?1所以xn?1? 4分
（2）解：当n为奇数时，xn?2；当n为偶数时，xn?2 5分 因为xn?2?分
注意到xn?0，所以xn?2与xn?1?2异号 由于x1?1?2，所以x2?2，以此类推， 当n?2k?1(k?N*)时，xn?2； 当n?2k(k?N*)时，xn?2
8分
xn?1?4x?2， ?2?n?1xn?1?1xn?1?1 6
（3）由于xn?0，xn?1?
所以|xn?1?2|?|所以|xn?2|≤
xn?43， ?1?xn?1xn?1所以xn≥1（n?1,2,3，…）
9分
xn?2|xn?2|1≤|xn?2| |?xn?1xn?12
10分 12分
1111|xn?1?2|≤2|xn?2?2|≤…≤n?1|x1?2|?n?12222111所以|x1?2|?|x2?2|?...?|xn?2|≤1??()2?...?()n?1
2221?2?()n?1?2
214分
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6解：（Ⅰ）依题意，
f(x)?ax2?2aax??2 331f(x)?2?a(x?1)(x?)(a?0)3,即
令???2,???，则sin??1,cos???1，有f(1)?0,2aa3??2?0，得a?. 332
f(2?1)?0，
得f(1)?0，即a??f(x)?325x?x?22.
---------------- 4分
（Ⅱ）f'(x)?3x?1，则3an?1?1?即an?1??
3an11 ?1??f'(an)3an?13an?1an，两边取倒数，得1?3?1an?1an3an?1，即bn?1?3?bn.
数列{bn}是首项为b1?1?1，公差为3的等差数列. a1?bn?1?(n?1)?3?3n?2(n?N?).
---------------- 9分
（Ⅲ）?cos(bn?)?cos(3n?2)??cos(n?)?(?1)n
?Sn?cos(bn?)?(?1)n?Sn
?Tn??S1?S2?S3?S4????(?1)nSn.
（1）当n为偶数时
Tn?(S2?S1)?(S4?S3)????(Sn?Sn?1)?b2?b4????bn
n(b2?bn)n3n2?2n2 ??(4?3n?2)?244（2）当n为奇数时
3(n?1)2?2(n?1)n(1?3n?2)Tn?Tn?1?Sn??
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?3n2?2n?1?
4??3n2?2n?1(n为奇数),??综上， Tn??24?3n?2n(n为偶数）.??4 ----------------1
3分 7（Ⅰ）
?1??1?fn?x???1??ln?1??
?n??n??x1?则fn??0??ln??1??，设函数φ?x??ln?1?x??x,x??0,1?
?n?则φ??x??1?x?1??0，则φ?x?单调递减， 1?x1?x所以ln?1?x??x?φ?0??0，所以ln?1?x??x
11?1?则ln??1???，即fn?0??；
?n?nn（Ⅱ）
?1??1??1??1??ln?1???1???fn?n??n??n??n???n?1n?1n?n?1?nnn.
?1?1121n1?1???1?Cn?Cn2???Cnn因为?n?nnn?1?1?1111?????3??3
?n?1?n1?22?3n则
????fn?n?f1?1?f2?2?f3?3? ?????234n?1?111??1???3??????3?1???3 ?1?22?3??n?1?n??n??则原结论成立.
8解：（1）因为Sn?3(an?1)，n?N?，所以Sn?1?3(an?1?1)．
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