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又当??(b?1)2?0时，x1??b?1?0,x2?0，因为ax1?b?1?0， ax所以ax2?b?b?0，则a?1，此时f(x)??1(x?0)
x2x,或者f(x)?1(x?0)； 综上所述，f(x)?x?2
4分
（Ⅱ） a1?1,an?1?f(an)?1,n?N?，当f(x)?1时，an?1?1，不合题意， 则f(x)?4分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an??an?1,n2xx?2，an?1?22an11111 ,???,则?1?(n?1)，an?n?1an?2an?1an2an2
121n?1????0,n?N? nn?1nn(n?1)则
11bn?min{an,}?nn，所以
Sn?1?111???? 23n
2分
设数列?cn?的前n项和为Tn?ln(n?1)，则c1?T1?ln2?lne?1 当
n?2时，
cn?Tn?Tn?1?ln(n?1)?lnn?lnn?11?ln(1?)nn，要证明
11ln(1?)?,n?N?
nn11??t?1, 令n 只要证明：lnt?t?1, 其中t?1 .
1x?1??0，所以g(x)在[1,??)xx令g(x)?x?1?lnx(x?1)，则g?(x)?1?上是增函数， 则当
x?1时，
g(x)?g(1)?0，即
x?1?lnx(x?1) ，所以
11?cn?ln(1?),n?N?， nn111 则 Sn?1??????c1?c2???cn?Tn?ln(n?1).
23n
5分
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【说明】也可用数学归纳法证明，为此，先证明证：lnt?t?1, 其中t?1.
11?ln(1?),即n?1n?1221解：（1）∵ 4Sn?an?2an?1，
2∴ 4Sn?1?an?1?2an?1?1 (n≥2)．
2两式相减得4an?an2?an?1?2an?2an?1． 整理得 (an?an?1)(an?an?1?2)?0， ∵ an?an?1?0， ∴ an?an?1?2（常数）． ∴ {an}是以2为公差的等差数列．www.ks5u.com 又4S1?a12?2a1?1，即a12?2a1?1?0，解得a1?1， ∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分
（2）由（1）知Sn?n(1?2n?1)?n2，∴ Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．
2k2(m2?p2)?2m2p2112112由???2?2?2?SmSpSkmpkm2p2k2
=0，
≥
即
11?SmSp(m?p2)?2mp?2m2p22m2p2k22mp?mp?2m2p2≥
m2p2k2≥
2Sk．………………………………………………………………7分
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
n(a1?an)n(n?1)， Sn?na1?d?22∵ Sm?Sp?2Sk?ma1?m(m?1)d?pa1?p(p?1)d?[2ka1?k(k?1)d]
2222m?p?(m?p)?(m?p)a1?d?[2ka1?(k2?k)d]，
2m?p2)(m?p)2d2?d?4把m?p?2k代入上式化简得
Sm?Sp?2Sk=
m2?p2?2?(2≥0，
∴ Sm+Sp≥2Sk．www.ks5u.com 又Sm?Sp?mp(a1?am)(a1?ap)4=
mp[a12?a1(am?ap)?am?ap]4am?ap2m?p22()[a1?2a1?ak?()]22≤
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22k2(a1?2a1ak?ak)k2(a1?ak)2S???(k)2， 442高分社区
∴
11Sm?Sp??SmSpSmSp≥
2Sk2?S(k)2Sk2．
故原不等式得证．………………………………………………………………14分www.ks5u.com
g?(x)?22解：⑴当???1时，g(x)?lnx?x,(x?0) ∴
11?x?1?,(x?0) xxg(x)?lnx?x在(0, 1)上单调递增，令g?(x)?0，则x?1， ∴在(1, +?)上
单调递减 ∴
----------------------------4分
12?x2?2?x?1⑵，（x?0） h(x)??x?2?x?lnx，h'(x)?2?x?2???xx2g(x)max?g(1)??1
∴当??0时，h'(x)?0，∴函数h(x)的增区间为(0,??)， 当?????2?2?????2?2?2?(x?)(x?)2?2??0时，h'(x)?，
x????2?2?当x?2?时，h'(x)?0，函数h(x)是减函数； 时，h'(x)?0，函数h(x)是增函数。
????2?2?当0?x?2?综上得，
当??0时，h(x)的增区间为(0,??)； 当?????2?2?????2?2??0时，h(x)的增区间为(0,)，减区间为(,??)
2?2?----------10分 ⑶当x?0，?'(x)???在(0,??)上是减函数，此时?'(x)的取值集合
A?(?,??)；
1x当x?0时，?'(x)?2?x??，
若??0时，?'(x)在(??,0)上是增函数，此时?'(x)的取值集合
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B?(??,?)；
若??0时，?'(x)在(??,0)上是减函数，此时?'(x)的取值集合B?(?,??)。
对任意给定的非零实数x，
①当x?0时，∵?'(x)在(0,??)上是减函数，则在(0,??)上不存在实数，使得?'(x)??'(t)，则t?(??,0)，要在(??,0)上存在非零实t（t?x）
??0； 数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有A?B，∴
②当x?0时，?'(x)?2?x??在(??,0)时是单调函数，则t?(0,??)，要在(0,??)上存在非零实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有
??0。 B?A，∴
综上得，实数?-------------------16分 23
的取值范围为
(??,0)。
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