高中数学选修2-3 第二章 概率
第五讲 独立重复试验与二项分布
二项分布定义：
在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X ，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为
P(X?k) kkn?k?Cp(1?p),(k?0,1,2,?n)n
则称随机变量X服从二项分布, 记作 X~B(n,p)，也叫Bernolli分布。
复习时应注意：
1. 独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次
的概率为Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k此式恰为[(1?P)?P]展开式中的第k?1项，可见排列
n组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系。 再现型题组1．在相同的条件下重复做的 称为n次独立试验。在n次独立重复试验中，“在
相同条件下”等价于各次试验的 ，若Ai（i?1,2,?,n）是第i次试验的结果，则P(A1A2?An)?________________.2．若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P(X?k)?________其__中k的取值为
_________.此时随机就是X服从二项分布，记为 ，并称P为成功概
率。巩固型题组3.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率
4. 从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：
（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；
（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；
（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为?，求?的概率分布.提高型题组5．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(i)求恰好摸5次停止的概率；
1，从B中3(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布列。
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(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
2，求p的值．5【变式与拓展】加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为
9、1087、，且各道工序互不影响。98 (1) 求该种零件的合格率；
(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
6.某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
【变式与拓展】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？
反馈型题组7.实力相等的甲、乙两队参加2008年乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．
8. 十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
参考答案
再现型题组
⒈ 【提示或答案】n次试验，结果不会受其它试验的影响，P(A1)P(A2)?P(An) ⒉ 【提示或答案】Cnp(1?p)kkn?k 0,1，2??n X~B(n,p)
巩固型题组
⒊解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率P5(4)?C5?0.8?(1?0.8)445?4?0.84?0.41
答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报
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都准确的概率的和，即
5P?P5(4)?P5(5)?P5(4)?C54?0.84?(1?0.8)5?4?C5?0.85?(1?0.8)5?5
?0.84?0.85?0.410?0.328?0.74
答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74． ⒋解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为1?3C63C10?1?15 ?.662（Ⅱ）同学甲被选中的概率为C9?3,则同学甲被中且通过测试的概率为
3C10100.3×0.7=0.21.
（Ⅲ）根据题意，?的可能取值为0、1、2、3，
3C41P(??0)?3?C103112C62C41C6C43P(??2)??;P(??1)??;332C1010C103C61P(??3)?3?;
C106所以，?的分布列为
提高型题组
2⒌解.（I） (i) C4?()2?()2?? 0 130 1 310 2 12 3 16P 132318?. 381(ii) 随机变量?的取值为0, 1, 2, 3.
kkp(1?p)n?k,得 由n次独立重复试验概率公式Pn(k)?Cn132118001P(??0)?C5?(1?)5?,P(??1)?C5??(1?)4?,
324333243118032?80?217P(??2)?C52?()2?(1?)3?,P(??3)?1??.
3324324381随机变量?的分布列是
0 1 2 3 ?
32808017P 243243243811m?2mp213（II） 设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。由3?,得p?.
303m5【点评】摸球问题是高考试题中经常出现的概率模型，对于此种问题的解决关键是抓住是放
回式摸球还是不放回式摸球，以便于选择概率模型进行解决。 【变式与拓展】 解：（Ⅰ）P?9877???； 109810
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7，由独立重复试验的概率公式得： 10317 恰好取到一件合格品的概率为 C3??()2?0.189， 10103 至少取到一件合格品的概率为 1?()3?0.973.
10 （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为 解法二：
1 恰好取到一件合格品的概率为C3?732?()?0.189， 101037317373 至少取到一件合格品的概率为 C3??()2?C32()2??C3()?0.973.
1010101010⒍解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p1,需要更换2只灯泡的概率
23为C5p1(1?p1)2;
5（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1－p1）；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1－p2)，故所求的概率为p?(1?p1)?p1(1?p2); （III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p（其中p为（II）
14中所求，下同）换4只的概率为C5，故至少换4只灯泡的概率为p（1-p）
5
2
214p3?p5?C5p(1?p).又当p1?0.8,p2?0.3时,p?0.22?0.8?0.7?0.6?p3?0.6?5?0.6?0.4?0.34.即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.54
【点评】分情况进行讨论，一定要注意不重不漏地全部考滤到。
【变式与拓展】 解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率， 即1?C6(0.5)06626?C1(0.5)?C(0.5)?1?661?6?1521?.
6432（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为
4666C6(0.5)6?C56(0.5)?C6(0.5)?11?0.3 32至少5人同时上网的概率为：
66(C56?C6)(0.5)?7?0.3. 64因此，至少5人同时上网的概率小于0.3. 课堂小结
求随机变量的分布列时，要找到随机变量的所有可能的取值，然后分别计算随机变量各个值
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的概率，最后得出分布列。 反馈型题组
⒎解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
11，乙获胜的概率为． 22记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，
记事件C=“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜
3∴甲打完3局取胜的概率为P(A)?C3()3?121． 8②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负
∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)?C3?()??2122113?． 2216③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负
121213?．
22216(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D?A?B?C， 又因为事件A、B、C彼此互斥，
1331故P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)????．
8161621答：按比赛规则甲获胜的概率为．
2∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)?C4?()?()?2⒏解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，??，直到停9次
∴从低层到顶层停不少于3次的概率
113131651514919P?C9()()?C94()4()5?C9()()???C9()
222222219192333591990129? ?(C9?C94?C9???C9)()??2?(C?C?C)()?(2?46)()?999??2222561k1k19?k设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()?C9k()9，
222kk19∴当k?4或k?5时，C9最大，即C9()最大，
2233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
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