20 非平稳随机过程
从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就是虚假回归。
应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存在相当大的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论，同时对参数进行假设检验。实际上，只有经济理论是不够的。比如处于调整中的经济变量，哪些是它的外生变量，哪些是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。所以当研究经济变量参数变化规律时，常常采用另外一种方法，即依靠统计理论的方法，通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程或数据生成系统研究经济问题。下面常常用到数据生成系统这个概念。 20.1 趋势平稳与差分平稳
20.1.1 趋势平稳：均值非平稳
如果yt不是围绕着某个常数波动，而是围绕某一趋势波动，即
yt = ?0 + ?1 t + ut, (4.8)
? (L)ut = ? (L) vt
ut为平稳可逆的ARMA过程。显然，E(yt) = ?0 + ?1 t。因此，{ yt }是非平稳的。将?0 + ?1 t称作趋势成分。因为该过程是由确定性趋势?0 + ?1 t和平稳随机过程ut组成，yt减去趋势后，即yt - ?0 - ? t = ut为平稳过程。因此，将其称作退势平稳过程或趋势平稳过程（trend stationary process）。
线性趋势只是确定性趋势的一个例子。实践中另外一种常见情形是二次趋势，即 yt = ?0 + ?1 t + ?2 t2 + ut, (ut ? WN(0, ?2))
均值非平稳的另外一种常见情形是存在结构突变。即在不同的时段，yt围绕着不同的均值波动。战争、石油危机、政府政策等都属于由结构突变导致的序列非平稳情形。这可以通过引入虚拟变量来刻画：
yt = ?0 + ?1 D + ut,
对于均值非平稳过程的分析与原来的平稳过程没有本质差异。首先利用LS方法进行退势，利用退势后的残差{ut}建立ARMA模型。几个关键特征如下。
冲击项的影响是短暂的。由平稳可逆的ARMA过程的特点可知，冲击项vt对yt的影响会逐渐消失，因此，影响是短暂的。这种影响的模式取决于ut的ARMA结构。如果为MA(q)过程，则vt对yt的影响只会持续q期；如果为AR(p)过程，则vt对yt的影响是长久的，但影响程度逐渐衰减，给定足够长的间隔期，影响可以忽略不计。但冲击项vt不会影响yt的长期趋势成分。
变量表现为趋势回归。长期趋势成分是序列波动的中心线。围绕这这一中心线的波动成分为ARMA过程。但波动不会长期偏离长期趋势成分，我们称之为趋势回归。
冲击项不改变长期预测。我们已经知道，ut的ARMA结构有助于提高短期预测精确度。对于MA(q)成分会影响未来q期的预测，AR(p)成分会影响未来无穷期的预测，但程度呈指
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数衰减，以至于忽略不计。即冲击项的影响是短暂的，所以对yt的长期预测就是其趋势成分。
预测误差的方差是有界的。长期内的预测误差即是ut，预测误差即是ut的方差，显然是有界的。
20.1.2 差分平稳：方差非平稳
另外一种非平稳过程表现为方差非平稳：
xt = xt-1 + ut （20.1） 其中，ut 是平稳可逆的ARMA过程。随着时间的推移，{ xt }的方差变得无限大。
xt = xt -1 + ut = ut + (xt -2 + ut-1)
= x0 + (ut + ut-1 + ut-2 + … + u1) = x0 +E(xt) = x0 Var(xt) =
t?1
?u
i?0
t?1
t?i
?var(ui?0t?1t?i)= t?u2? ?
将
?u
i?0
t?i
称作随机趋势。与趋势平稳过程不同，这种过程的差分是平稳过程。因此，
也将其称作差分平稳过程。
E(xt - xt-1) = E( ut ) = 0
这表示yt的变化的期望值为0。 案例：股票价格。
20.1.3 差分平稳：均值、方差非平稳
另外一种更一般的差分平稳过程为带漂移项的过程：
xt = ? + xt-1 + ut （20.2）
其中，ut 是平稳可逆的ARMA过程。
xt = ? + xt -1 + ut = ? + ut + (? + xt -2 + ut-1) = x0 + ? t + (ut + ut-1 + ut-2 + … + u1) = x0 + ? t +
t?1
?u
i?0
t?i
E(xt) = x0 + ? t
这一公式表明，如果把第t期视作初始期，对t+1期最好的预测值为x0 + ?，对t+2期最好的预测值为x0 + 2 ?。其中，x0表示第t期的观测值。
Var(xt) =
t?1
?var(ui?0t?1t?i)= t?u2? ?
将
?u
i?0
t?i
称作随机趋势。与趋势平稳过程不同，这种过程的差分是平稳过程。因此，
也将其称作差分平稳过程。
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E(xt - xt-1) = E(? + ut ) = ?
? 表示yt变化的期望值。因此，如果? > 0，则yt表现出上扬的趋势；如果? < 0，则yt表现出下跌的趋势。
差分过程的几个关键特征。
冲击项的影响是长久的。每一期的冲击的影响都是长久的。
变量不会表现为均值回归。ut的期望值虽然为0，但其方差越来越高，因此回归均值的时间也越来越长。
冲击改变长期预测。由预测公式：E(xt) = x0 + ? t，第t期对未来期的预测分别为： E(xt+1) = xt + ?， E(xt+2) = xt + ? ， ...
而xt中包含了ut。即ut对未来所有期的预测都产生影响。
预测误差的方差是无界的。 预测误差为：
xt - E(xt) =
?u
i?0
t?1
t?i
其方差为t?u2。随着时间的推移，预测误差的方差变得无穷大。 从上述分析可以看出，趋势平稳和差分平稳是两种截然不同的过程。
xt = ?0 + ?1 t + ut, xt = x0 + ? t +
t?1
?u
i?0
t?i
两种过程虽然都包含趋势成分?0 + ?1 t。但对于趋势平稳过程来讲，由于扰动项的ut的方差有界，因此表现为趋势回归，即围绕着(?0 + ?1 t)波动，不会长期偏离这一趋势。而对于差分平稳过程来讲，由于扰动项的ut的方差无界，因此不会表现为趋势回归，即存在长期偏离(?0 + ?1 t)的现象。同时，从预测的角度来讲，两种过程的预测机制也截然不同。 20.2 宏观经济变量增长模型的回顾
20.2.1 趋势成分的设定
如前文所述，常数增长率模型设定为：
yt = (1 + g) yt-1 , t = 1, 2, … (形式1)
我们来看上述模型的另外两种替代表述形式。 形式1：
依次迭代可以得到
yt = y0 (1 + g) t log(yt) = log(y0) + log(1+g) t = ? + ? t (形式2) 因此，log(yt)遵循确定性时间趋势。?表示连续增长率，g表示离散增长率。 形式2：
对形式1进行差分，可得：
3
?log(yt) = log(yt) - log(yt-1) = ? (形式3)
现在考虑在常数增长率模型中引入随机成分。常数增长率模型的三种表达式中，应该采用哪一个呢？ 形式1：
yt = (1 + g) yt-1 + ut
当g > 0时，这是一个非平稳的过程。它体现了的意义与时间序列不相符。因此，这一模型显然不可用。 形式2：
log(yt) = ? + ? t + ut
这是趋势平稳过程。即，yt的水平值出现随机波动，波动是围绕长期趋势(? + ? t)出现的。 形式3：
?log(yt) = ? + ut
这是差分平稳过程。即，yt的增长率出现随机波动，波动是围绕增长率?出现的。 20.2.2 水平变量或对数变量
因为很多宏观变量，比如GDP、贸易额等，都呈现指数型的增长。因此，在增长率模型中经常对其取对数。以我们国家GDP为例。对于初始数据，线性趋势模型显然是不合适的，必须用（至少）二次趋势来拟合。
yt = ?0 + ?1 t + ?2 t2 + ut,
另外一种替代方法是取自然对数。取过对数后的数据呈现明显的线性趋势。因此，可以直接用
Log(yt) = ?0 + ?1 t + ut
拟合数据。这种模型相对于二次趋势模型来讲，参数较少，可以节省自由度；而且具有直观的经济含义。
再来观察初始变量与对数变量的差分。初始变量的差分仍然表现出增长的趋势，而且方差越来越高。而对数变量的差分表现为平稳状态，且没有明显的异方差。 20.3 时间序列的分解
时间序列分析中，一个有用的分界是将序列分解为永久成分和短暂成分。其中，永久成分是模型的长期趋势，而短暂成分是指模型的暂时冲击。
对于趋势平稳过程，其长期时间趋势就是其永久成分，而随机扰动由于是平稳可逆ARMA过程，所有影响都是暂时的，为模型的短暂成分。
对于差分平稳过程，其永久成分和短暂成分可以通过BN分解公式得到。 20.4 单整过程及其考察的意义
单整：若一个随机过程 {xt} 必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳可逆的ARMA过程，则称 {xt} 是d阶单整过程。用xt ? I(d) 表示。显然，平稳过程是0阶单整的，表示为
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I(0)。
对于I(d) 过程xt
?(L) (1- L) d xt = ?(L) ut （20.3） 若xt ? I(d)，yt ? I(c)，一般情况下， zt = (a xt + b yt) ? I (max[d, c]).
? zt = ? (a xt + b yt) = (a xt + b yt) - (a xt -1 + b yt - 1) = (a ? xt + b ? yt)
当 c > d 时，zt只有差分c次才能平稳。一般来说，若xt ? I (c)，yt ? I (c)，则 zt = (a xt + b yt) ? I (c).
但也有zt的单整阶数小于c的情形。当zt的单整阶数小于c时，则称xt与yt存在协整关系。
经济问题中的非平稳变量大多是I(1)过程。本章主要讨论I(1)过程。在详细讨论I(1)过程之前，首先需要明确几个问题。
（1）设xt?xt?1u?t，ut ? (0, ?2)。通过迭代可以得到：xT??Tt?1tu?x0?(u1?u2??ut)。
I(1)过程的设定必须包含初始条件的设定。比如，x0=0；或者为随机变量，Var(x0)
E(xT)??t?1E(ut)?0Var(xT)??t?1??T?2T2T （20.4）
即：I(1)过程的方差随着时间的推移而线性增加。因此，如果过程始于无穷遥远的过去，方差则无穷大。为讨论有限方差的I(1)过程，假定I(1)过程始于t=0。
（2）如果过程为xt = ? + xt-1 + ut，通过迭代可以得到： xt = ? + xt -1 + ut = x0 + ? t + (ut + ut-1 + ut-2 + … + u1)
即：如果I(0)过程为非零均值，则I(1)带有线性趋势项。?=0时，称I(1)过程为无漂移的I(1)过程； ??0时，称I(1)过程为有漂移的I(1)过程。显然，有漂移的I(1)过程可以表示为无漂移的I(1)过程与线性趋势项的加和。
（3）I(1)过程也称作差分平稳过程，或者单位根过程。
以随机游走过程和平稳的AR(1)过程为例，说明非平稳过程的特点。对于随机游走过程
xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut ? IN (0, ?2)
前文已经证明：
Var(xT)??t?1?2?T?2
xT 和 xT - k的协方差?k和相关系数?k 分别为：
tt?kt?kTE(xt,xt?k)?E(?i?1ui?i?1ui)??i?1ui2?(t?k)?2 （20.5）
?k?Cov(xT,xT?k)Var(xT)Var(xT?k)?(T?k)?u2T?u2(T?k)?u2?T?k （20.6） T对于AR(1) 过程yt = ?1 yt-1 + vt , ? ?1? < 1, y0 = 0, vt ? IN(0, ?v2) 有
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