?服从Wiener过程函数的分布。因为两个Wiener过程相互独立，所以其最大可能取⑵?1值为零。
0.80.70.60.50.40.30.20.1-3-2-1012(p129, (3.51) )
?) 的极限分布存在，所以t(??) 的分布发散。 ⑶ 因为T -1/2 t(?110.080.060.040.02-30-20-1001020 (p131, (3.58) ) ⑷ R2有非退化的极限分布。不收敛于零。
432100.20.40.60.81 (p132, (3.59) ) ⑸ DW统计量依概率收敛于零。 (p132, (3.60) ) ?，??，t(??)，R2，DW的分布模拟结给定条件ut , vt ?IN (0,1), T = 100, 模拟10000次得?011果如下（见书74-77页，图3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8）。
65432100.20.40.60.8 (p132, (3.60) )
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20.7 单位根检验
20.7.1 几种随机过程
由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。
在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p.）， yt = ? yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) (4.1) yt = ? + ? yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) (4.2) yt = ? + ? t + ? yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) (4.3) 其中? 称作位移项（漂移项），? t称为趋势项。
显然，对于以上三个模型，当 ? ? ? < 1时，yt 是平稳的，当 ? ? ? = 1时，yt 是非平稳的。 以模型 (4.1) 为例，若? ? ? < 1，统计量
??)= (???) (4.5) t(??)s(?渐近服从标准正态分布。根据中心极限定理，当T ? ? 时，
???) ? N (0, ? 2 (1- ? 2 ) ) (4.6) T(?T?)服从什么分布呢？当 ? ? ? = 1时，变量非平稳，上述极那么在 ? ? ? = 1条件下，统计量 t(?限分布发生退化（方差为零）。
首先观察 ? = 1条件下，数据生成系统(4.1)，(4.2) 和 (4.3)的变化情况。 （1）? = 1条件下的(4.1) 式是随机游走过程。
10y=y(-1)+u220052000180001600-51400-10204060801001201401601802001200
50100150200250300
图4.1 由yt = yt-1+ ut生成的序列 图4.2深圳股票综合指数（file:stock）
（2）? = 1条件下的 (4.2) 式是含有随机趋势项的过程。将(4.2) 式作如下变换则展示的更清楚。
yt = ? + yt-1 + ut = ? + (? + yt-2 + ut-1) + ut = … = y0 + ? t +
?ui= ? t + ?ui (4.7)
i?1i?1tt 12
这是一个随机游走过程和一个趋势项之和。所以称作随机趋势过程（stochastic trend process），有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift）见图 4.2，虽然总趋势不变，但随机游走过程上下游动。因为对yt作一次差分后，序列就平稳了， ? yt = yt - yt-1 = ? + ut （平稳过程）
所以也称yt为差分平稳过程（difference- stationary process）。
80stochastic trend process6020y=-0.1+y(-1)+u0-2040-40-60-80-10020050100150200250300350400
1002003004005006007008009001000
图4.2a 由yt = 0.1+ yt-1+ ut生成的序列 图4.2b 由yt = - 0.1+ yt-1+ ut生成的序列（file:simu2）
（3）趋势非平稳过程
? = 1条件下的 (4.3) 式是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程（见图 4.3）。 yt = ? + ? t + yt-1 + ut = ? + ? t + [? + ? (t-1) + yt-2 + ut-1] + ut
= …
= y0 + ? t + (? t) t - ? (1+2 +…+ t) += y0 + ? t + ? t -2
?ti?1iu
?2( 1+ t ) t +
?ui?1ti= (? -
?2) t +
?2t +?ui, (设定y0=0)
2
ti?1含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t的2次方过程。这种过程在经济问题中非常少见。
80706050403020100-1025507510012520trend stationary process151050-5
20406080100120140
图4.3 yt = 0.01+ 0.01t + yt-1+ ut生成的序列（y4） 图4.4 yt = 0.1 t + ut 生成的序列（file:simu2）
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20.7.2 DF检验
1. 无截距项、无趋势项的情形
模型为
yt = ? ut-1 + vt, (4.1)
零假设和备择假设分别是，
H0：? = 1， （ yt非平稳） H1：? < 1， （ yt平稳）
给定 ? = 1，则
?? ??ytyt?1t?1T?yt?1T2t?1 (4.9)
因已知y0 = 0，
????t?1(yt?1?ut)yt?1?Tt?1Ty2t?1??t?1yt?12?Tt?1Ty2t?1??t?1utyt?1?Tt?1Ty2t?1?1???Tt?1tTt?1uyt?1y2t?1
??1????Tt?1tTt?1uyt?1y2t?1 (4.10)
前文已经证明，
TT?2?yt?12??2?(W(r))2dr (4.11)
t?120tT1?yt?1??(yt?1?ut)??y2t?1t?1TT2t?1??ut?2?yt?1ut
2t?1t?1TT对上式移项整理，
T1?T2T1?2T2?22?yt?1ut???yt??yt?1??ut???yT??ut? (4.12) ?2?t?1t?1t?1t?1t?1?2??T当T? ∞，
21?2?yT?1T2?12T?yt?1ut????1/2???ut???[W(1)2?1] (4.13)
2?t?1???T?Tt?1??2?1T由上式知?yt?1ut是O(T)的。由 (4.11) 式知?yt?12是O(T 2 )的。所以当T ? ? 时，
t?1t?1TT?)?Plim(1??Plim(??Tt?1tTt?1tuyt?1T22t?1uyT2)?1 (4.14)
?是 ? =1的一致估计量。 可见? 由(4.10)式、(4.11) 式和 (4.13) 式，当T ? ? 时，
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??1)? T(?T?1?uytt?1Tt?1Tt?1?(1/2)[W(1)2?1]T?2?yt?12?W(r)dr012 (4.15)
?- 1)是检验单位根的一个常用统计量。有三个结论如下： T (??是O(T –1 )的。由 (4.6) 式知，当yt 平稳时，??是O(T –1 /2 )的。所以前（1）由上式知??以速度T接近真值? = 1，所以称??是? = 1的超一致估计量。 者的收敛速度更快。??- 1)的极限是标准维纳过程的函数。 （2）T(?它不服从正态分布，也不服从t分布。W(1)2
? ?2(1)，尽管 (4.15)式分子的期望为零，但其分布是不对称的。
P{ ( W(1)2 –1 ) < 0} = P{ W(1)2 < 1 } = 0.68 [W(1)~N(0, 1)]
?的值将有0.68的概率小于1。 这表明，尽管? = 1，对于给定的样本，??- 1) 不服从t分布，所以假设检验时不能查t临界值表。 (3) 因为T(?检验单位根的另一个统计量是DF统计量。DF统计量的表达式与通常意义的t统计量
完全相同。
??1??1(?t?1yt?12)1/2??DF????)?(Ty2)?1/2?s(??t?1t?1利用结论 (4.11) 和 (4.13) 式，当T ? ? 时，
T??Tuyt?1tt?1Ty2t?1t?1???(?Tt?1tTuyt?1y2)1/2t?1t?1 4.16)
??1?(1/2W)(2?(1)1)?1 DF? (4.17) ?)s(?(?W(r)2dr)1/20?- 1) 和DF统计量的百分位数表，Full (1976) 用蒙特卡罗模拟方法得到T(?分别见附表
5和6。以模型 (4.2)，? = 1为条件，取样本容量T = 100，用蒙特卡罗方法模拟10000次得
?，T(??- 1) 和DF的分布分别见图4.1和4.2。??的分布是左偏的，峰值小于1。T(??- 到的?1) 的分布也是左偏的，峰值小于0。DF分布近似于t分布，但整体向左大约移动了1.6个单位。
以附表6中a部分的相应百分位数作为临界值，若用样本计算的 DF > 临界值，则接受H0，yt 非平稳； DF < 临界值，则拒绝H0，yt是平稳的。
图4.12 单位根检验示意图
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