上述DF检验还可用另一种形式表达。(4.24) 式两侧同减yt-1，得
? yt = (?-1) yt-1 + ut , (4.27) 令 ? = ? - 1，代入上式，
? yt = ? yt-1 + ut , (4.28) 与上述零假设和备择假设相对应，用于模型 (4.27) 的零假设和备择假设是 H0：? = 0， （ yt非平稳） H1：? < 0， （ yt平稳）
这种模型形式的变化并不影响DF统计量的值，所以检验规则仍然是 若DF > 临界值，则yt是非平稳的； 若DF < 临界值，则yt是平稳的。 这种检验方法是DF检验的常用方法。（便于在计算机上实现）
2. 存在截距项时的情形
yt = ? + ut ，ut = ? ut-1 + vt, (4.1)
零假设和备择假设分别是，
H0：? = 1， （ yt非平稳） H1：? < 1， （ yt平稳）
将模型滞后一阶，两边同时乘以?，得到 ?yt-1 = ? ? + ?ut-1
可得到Dicky-Fuller检验方程：
yt = ? (1- ?) + ?yt-1 + vt = ?0 + ?yt-1 + vt
因此，对原假设? = 1的检验等价于检验联合假设：?0 = 0，? = 1。但实践中，仅对? = 1进行检验。
构建统计量
(1/2)[W?(1)2?W?(0)2?1]?DF?T(??1)? 1?2?W(r)dr??0??1(1/2)[W?(1)2?W?(0)2?1]? DFt??1?s(?)W?(r)2dr??0其中，W?(r)?W(r)??W(s)ds
013. 存在截距项和趋势项时的情形
模型为
yt = ? + ? t + ut , ut = ? ut-1 + vt, (4.1)
零假设和备择假设分别是，
H0：? = 1， （ yt非平稳） H1：? < 1， （ yt平稳）
16
将模型滞后一阶，两边同时乘以?，得到
?yt-1 = ? ? + ?? (t-1) + ?ut-1
可得到Dicky-Fuller检验方程：
yt = ? (1- ?) + ?? + ? (1- ?) t + ?yt-1 + vt = ?0 + ?1 t + ?yt-1 + vt
因此，对原假设? = 1的检验等价于检验联合假设：?1 = 0，? = 1。但实践中，仅对? = 1进行检验。检验统计量为：
(1/2)[W?(1)2?W?(0)2?1]?DF?T(??1)? 1?2?W(r)dr??0??1(1/2)[W?(1)2?W?(0)2?1]? DFt??1?s(?)W?(r)2dr??0其中，W?(r)?W(r)?a?d?r
a??(4?6s)W(s)ds,??d??(?6?12s)W(s)ds
0011
注意
1. DF检验是左单端检验。因为 ? > 1意味着强非平稳，? < 1意味着平稳。当接受? <
1，拒绝 ? = 1时，自然也应拒绝? > 1。 2. 在实际检验中，若H0不能被拒绝，说明yt是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。
接下来应该继续检验 ? yt 的平稳性。即
? 2 yt = ? ? yt-1 + ut , (4.31)
直至结论为平稳为止。从而获知 yt 的单整阶数。
?t不能存在自相关。如存在自相关，说明yt不是一个AR(1) 3. (4.28) 式的残差序列 u过程，则不能使用DF检验。
?4. 在含有截距项和趋势项时，即使?=0，结论也成立。即，DF?和DFt?也可以用于检
验无漂移随机游动的序列。然当，当原假设过程为无趋势时，因为平稳备择假设的的有限样本势大于的有限样本势，因此应该使用DF??和DFt?作为统计量。另一方
?面，如果过程可能具有时间趋势时，却没有利用DF?和DFt?进行检验，将导致错
误的大样本结论。
20.7.3 ADF检验
以上方法只适用于AR(1) 过程的单位根检验。当时间序列为AR(p) 形式，或者由以上
形式检验得到的残差序列存在自相关时，应采用如下形式检验单位根。
?yt-1 + ? yt = ?????? y
i?1kt-i + ?t , (4.34) v 17
因为上式中含有? yt的滞后项，所以对于? = 0（yt非平稳）的检验称为增项DF检验或ADF检验。模型 (4.19) 研究的就是这种条件下的DF分布。 1. DF检验
对于AR(p+1)过程
yt = ?1 yt-1 + ?2 yt-2 + … + ? p yt-p-1 + u t , (4.18) 根据BN分解公式，AR(p)可以重新表述为：
yt??yt?1???j??yt?j?ut
j?1p????i,?????j?????i(j?1,2,...,p)i?1i?j?1p?1p?1
可以证明，?与AR(p+1)特征多项式的特征根相对应：当? = 1时，yt中含有单位根。 结论：假设{yt}为ARIMA(p,1,0)过程，则{ ?yt }为I(0)平稳过程。则
yt??yt?1???j??yt?j?ut
j?1p的单位根检验统计量为：
??1)T(?ADF???Stat:???DF???1??????1pADF?t?Stat:????1??)Se(?
?DFtADF检验中对?=1检验的DF统计量的分布与 DF检验统计量的分布近似相同。 (4.19)
式中的差分项 ? yt-j , j = 1,2, …, p – 1之所以不会对DF统计量的分布产生影响是因为当 yt ? I(1)，则全部 ? yt-j ? I(0)。yt与 ? yt-j的交叉积渐进被忽略。从而使 (4.19) 式中 ? 的DF统计量的分布与 (4.1) 式中 ? 的DF统计量渐近相同。 2. 存在位移项时的情形
存在位移项时有如下结论成立，
结论：假设{yt}为ARIMA(p,1,0)过程，则{ ?yt }为I(0)平稳过程。则
yt????yt?1???j??yt?j?ut
j?1p的单位根检验统计量为：
??1)T(?ADF???Stat:???DF????????1??1pADF?t?Stat:????1??)Se(?
?DFt?3. 存在趋势项时的情形
存在趋势项时有如下结论成立，
结论：假设{yt}为ARIMA(p,1,0)过程，则{ ?yt }为I(0)平稳过程。则
yt????t??yt?1???j??yt?j?ut
j?1p 18
的单位根检验统计量为：
??1)T(?ADF???Stat:???DF????????1??1pADF?t?Stat:????1??DFt??)Se(?
即：当模型 (4.18) 中含有位移项 ? 和趋势项 ? t时，对应? 的DF统计量的分布分别
与模型 (4.2) 和模型 (4.3) 中DF统计量的分布相同。 4. Said-Dicky扩展
现在进一步放宽对yt的限制。考虑如下过程 yt = ? yt-1 + ut , (4.22) 其中允许随机项ut是一个ARMA(p, q) 过程，甚至参数 p, q 的值也可未知。则可以用下式研究 ? 和DF统计量的分布。 ?yt-1 + yt = ?????? yt-i + v?t , (4.23)
i?1k若? = 1，上式是一个差分的AR(k) 过程。加入 ?yt 滞后项的目的是捕捉 (4.22) 式误差项
ut中的自相关。（ut的自相关项对于模型 (4.22) 来说是移动平均项，所以 ?yt 滞后项的加入可以捕捉之。）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对ut而言的移动平均项vt, t = 1, …, q完全可以通过增加ut 的滞后项而吸收。进而被足够的? yt-i项
?t近似为一个白噪声过程。 所吸收。从而使vSaid-Dickey (1984) 证明 (4.23) 式中 ? 的DF统计量的分布与 (4.1) 式中 ? 的DF统
计量的分布类似。 当 (4.23) 式中加入位移项 ? 和趋势项? t时， ? 的DF分布分别与 (4.2) 式和 (4.3) 式中 ? 的DF分布相同。
5. 对未知滞后阶数p的处理
?。这里直接给出关于p的选择的几个基本结论。令p表示真实的滞后阶数，其估计量为p ?满足条件： 结论1：如果p???，但p?/T1/3?0， T??时，p?期滞后的ADF统计量与基于p期滞后的ADF统计量具有相同的渐进分布。 则基于p?有无穷多个。这一结论并没有给我们提供选择p的实际指导，因为满足如上条件的p这时候，可以考虑利用信息准则
C(T)?SSR?IC?ln??(j?1)（注意，公式中为j+1） ?T?T??的选择范围是j = 0, 1, 2, …, pmax。pmax为大于或等于真实阶数p的整数。pmax为样本容量pT的函数，为表明这一点，我们用pmax(T)表示。但如果{?yt }为平稳可逆的ARIMA(p,0,q)过
程，则pmax(T)必须大于真实的阶数p。
19
?，pmax(T)满足条结论2：Ng and Perron（1995）证明，如果根据从一般到特殊的规则选择p件
T??时，pmax(T)??，但pmax(T)/T1/3?0
且存在常数c满足，pmax(T)?c?Tg??(0?g?1/3)
?期滞后的ADF统计量与基于p期滞后的ADF统计量具有相同的渐进分布。 则基于p通过上述分析，可以明确的是，如果pmax(T)满足上述条件，则无论采用序贯t准则、
AIC准则或是BIC准则，ADF统计量具有相同的渐进分布。那么该如何确定pmax(T)呢？
Schwert（1989）的模拟表明，在小样本及中等大样本中（T=25至1000），减少显著性
???12?T/100??为p水平扭曲的重要方法是自回归包含足够的滞后阶数。他所选择的p?1/4?。 ?6. 检验形式的选择
实际中并不知道被检验序列的d.g.p. 属于哪一种形式，(4.1)、(4.2) 还是 (4.3) 式。怎样选择单位根检验式呢？
一般方法是当被检验序列中存在趋势项时，则应该采用 (4.3) 式和(4.2) 式。如不存在趋势项时，则应该采用 (4.1) 式。同时还要区别退势平稳过程。
对（2）式进行联合检验，H0：? =? =0。但所用的F统计量不再服从F分布。实际分布见表2。
表2 对（4.2）式进行联合检验H0：? =? =0的F分布表
T 25 50 100 250 500 ∞ s.e.
0.01 0.29 0.29 0.29 0.30 0.30 0.30 0.002
0.025 0.38 0.39 0.39 0.39 0.39 0.40 0.002
0.05 0.49 0.50 0.50 0.51 0.51 0.51 0.002
1-? 0.10 0.90 0.65 0.66 0.67 0.67 0.67 0.67 0.002
4.12 3.94 3.86 3.81 3.79 3.78 0.01
0.95 5.18 4.86 4.71 4.63 4.61 4.59 0.02
0.975 6.30 5.80 5.57 5.45 5.41 5.38 0.03
0.99 7.88 7.06 6.70 6.52 6.47 6.43 0.05
摘自：Dickey-Fuller（1981）
6. 也可以对（4）式进行联合检验，H0：? =? =0。但所用的F统计量不再服从F分布。而服从如表3的分布。
表3 对（4.3）式进行联合检验H0：? =? =0的F分布表
T 25 50 100 250 500 ∞ s.e.
0.01 0.76 0.76 0.76 0.76 0.76 0.77 0.004
0.025 0.90 0.93 0.94 0.94 0.94 0.94 0.004
0.05 1.08 1.11 1.12 1.13 1.13 1.13 0.003
1-? 0.10 0.90 1.33 1.37 1.38 1.39 1.39 1.39 0.004
5.91 5.61 5.47 5.39 5.36 5.34 0.015
0.95 7.24 6.73 6.49 6.34 6.30 6.25 0.020
0.975 8.65 7.81 7.44 7.25 7.20 7.16 0.032
0.99 10.61 9.31 8.73 8.43 8.34 8.27 0.058
摘自：Dickey-Fuller（1981）
20