?ytd??ytd?1??1?ytd?1????p?ytd?p?ut
利用t统计量或?统计量进行检验。但需要注意的是，模型中包含常数项时，t统计量服从DF分布。但如果模型中同时包含常数项和趋势项时，t统计量不服从DF分布。ERS（1996）模拟了不同样本容量下的临界值。 20.8.2 Phillips-Perron（PP）检验
Phillips and Perron (1988)提出了解决序列相关问题的非参数检验方法。PP方法使用DF检验方程，但对t统计量和?统计量进行了修正，使得自相关不影响统计量的渐进分布。PP检验统计量为：
???t???t??0??f0?1/2??)T(f0??0)Se(? 1/2?2f0??2(T?k)??为回归方程的标准差，?0?其中，?，f0表示残差的0频率谱。
T在PP检验中，有两个基本设定。一是模型形式的选择，即是否包含常数项或时间趋势项。其二是选择估计f0的方法。PP修正的t统计量的渐进分布与ADF统计量相同。因此，临界值与判别方法也相同。
零频率谱的两种估计方法。核估计方法和谱密度估计方法。核估计公式为：
??f0j??(T?1)?T?1??(j)?K(j/l)
?(j)表示残差的协方差估计量。 其中，l表示窗宽参数，K表示核函数，?20.8.3 Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, and Shin (KPSS)检验
The KPSS (1992)检验与其他单位根检验的方法不同，这种检验的原假设为序列是平稳的。KPSS统计量是基于OLS回归的残差。
yt?Xtβ?ut
检验统计量为：
?S(t)LM?t2Tf02?i ,???S(t)??ui?1tKPSS（1992）给出了KPSS LM统计量的渐进分布及其临界值。
20.8.4 Elliot, Rothenberg, and Stock Point Optimal (ERS)检验
ERS检验是利用拟差分方程的残差构建的统计量。 原假设为：??1；备择假设：???。
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统计量为：PT?SSR(?)??SSR(1)
f0Elliot, Rothenberg, and Stock（1992）给出了T=50，100，200和?下的临界值。 20.8.5 Ng and Perron (NP)检验
Ng and Perron (2001)基于GLS退势序列提出了四种检验统计量。
20.9 结构突变与单位根检验
Perron指出，对于在趋势或水平值存在结构突变的过程来说，如果不考虑这种突变，当用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带趋势突变或水平值突变的退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程。即进行单位根检验时不考虑结构突变，会导致检验功效降低（实为退势平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）。
结构突变的两种形式。
10010080806060404020200204060801001201401601802000
20406080100120140160180200
图22 含有均值突变的过程 图23 含有斜率突变的过程
检验实例3：有T=100的均值突变平稳过程yt如图24。ADF检验式估计结果是 ?yt = -0.0119 yt-1 -0.3656 ?yt-1 + ut
(-0.5)* (-3.8) R2=0.14, DW=2.07, ADF(0.05) = -1.94,T=100
由于ADF检验式没有考虑均值突变，检验结果yt是单位根过程。用虚拟变量（D=0，（1-50）；D=1，（51-100））区别突变前后两个时期，得ADF检验式如下：
1086420-2102030405060708090100
图24 含有均值突变的平稳过程
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?yt = -0.9499 yt-1 + 0.0126 ?yt-1 + 0.2714 + 7.3115 D + ut
(-5.9)* (-0.1) (1.5) (5.7) R2 = 0.37, DW=1.84, ADF(0.05) = -1.94,T=100
因为ADF= -5.9 < -1.94，所以，yt为带有均值突变的退势平稳过程。 20.9.1 结构突变点已知条件下的单位根检验方法
Perron (1989, 1990)给出了结构突变点已知条件下的单位根检验方法。结构突变点已知时，称其为外生性结构突变点。假定发生结构突变的时点已知为tB。
模型（1）：
H0：yt为水平（截距）突变的单位根过程（在tB +1期发生脉冲式突变）。表示为
yt = ? +?1D1t +yt-1+ut, ut ?I(0) ， (6)
其中
0, t?tb?1 D1t = ? ?? 1, t?tb?1H1：含有一个水平（截距）突变点的退势平稳过程。
yt = ? +?2D2t +? t + ut, (7) 其中
1 , t?tb D2t = ? ?? 0 , t?tb 原假设是，yt 为水平（截距）突变的单位根过程；备择假设是，yt 为漂移项突变（由? 变化到? +?2）的趋势平稳过程。
模型（2）：
H0：从tB +1期始发生漂移项突变（实为序列发生斜率突变，对于取对数的经济变量是增长率发生突变）的单位根过程。
yt = ?+?2 D2t +yt-1+ut, ut ?I(0) ， (8)
其中
1 , t?tb D2t = ? ?? 0 , t?tb 即在t ? (tB +1) 时，截距（对于取对数的经济变量是增长率）由? 突变到?+?1。
H1：自(tB +1)期始，含有斜率（趋势）突变（对于取对数的经济变量是增长率发生突变）的退势平稳过程（原理见退势平稳过程）。 yt = ? +? t +?3 D3t + ut, (9) 其中
? t?tb, t?tb D3t = ?
? 0 , t?tb 原假设是，yt 为漂移项突变的单位根过程；备择假设是，yt 为斜率突变（由? 变化到? +?3）的趋势平稳过程。
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模型（3）：
H0：从tB +1期始，同时发生脉冲式突变和截距突变，即截距和斜率（对于取对数的经济变量是增长率）同时发生突变的单位根过程。
yt = ? +yt-1+?1 D1t +?2 D2t +ut, ut ?I(0) (10)
其中
0, t?tb?1 D1t = ?，D2t = ?? 1, t?tb?1? 1 , t?tb ?? 0 , t?tb 即从t ? (tb +1) 时始，?1表示截距发生突变；?2表示斜率发生突变（对于取对数的经济变量是增长率），从截距为零，斜率为?，突变到截距为?1，斜率为?+?2。其中D1t是脉冲式虚拟变量，D2t是阶跃式虚拟变量。
H1：自(tB +1)期始，截距和斜率发生双突变的的退势平稳过程。
yt = ? +? t +?2D2t +?4 D4t + ut, (11)
其中
? 1 , t?tB D2t = ?，D4t =
? 0 , t?tB ? t, t?tB ?? 0, t?tB 原假设是，yt 为水平和漂移项双突变的单位根过程；备择假设是，yt 为截距和斜率双突变（水平由? 变化为? +?2，斜率由? 变化为? +?4）的趋势平稳过程。
Perron指出，如果数据由备择假设（带有结构突变的退势平稳过程）生成，则无论过程中含有哪种突变，随着突变点的增加，如下检验式
yt = ?* + ?1* yt-1 +?* t + ut*, 中?1的OLS估计量都逐渐趋近于1，从而错误地给出结论，yt含有单位根。 实际检验分为两类。（1）突变的发生是瞬时的，称为可加性离群（additive outlier）情形，用AO表示。突变是脉冲式的，只影响yt水平值。（2）突变以后yt是渐变的，即相当于在某一时刻的新息上加载冲击，称为新息值离群（innovation outlier）情形，用IO表示。因为模型是动态的，一个时刻的新息冲击要扩散到序列的以后若干期，也许是无限期。 下面以AO情形为例，介绍带有结构突变的时间序列的单位根检验方法。 首先根据具体情况，按三个备择假设模型（7）、（9）、（11）之一回归，即从yt中剔出常
?t(i)表示。其中i = 1, 2, 3，数项、固定趋势和结构变化的影响，所得为退势、退结构残差，用u分别表示用（7）、（9）、（11）式回归得到的残差序列。ADF检验式写为，
i)???u????j?u?t(??uj?vt, i = 1, 2, 3 (i)t(i)t?1j?1p(i)
定义? 所对应的统计量t(?、（9）、（11）式相?)为AOADF。其中i = 1, 2, 3，分别与（7）
对应。AOADF(i) 不服从标准的ADF分布。其渐近分布与获得残差序列的回归式i有关，与突变点的位置? = tb / T有关。
表5 AOADF(i) 统计量在? 已知、未知条件下以及最小t统计量检验用渐近临界值
?
检验式 0.1 0.2 (1) -3.68 -3.77 ? 已知
0.3 0.4
-3.76 -3.72 0.5 0.6 -3.76 -3.76 29
0.7 0.8 -3.80 -3.75 ? 未知 0.9
-3.69 -4.80 Min(t) -4.64 5% 10% (2) (3) (1) (2) (3) -3.65 -3.75 -3.40 -3.36 -3.45 -3.80 -3.99 -3.47 -3.49 -3.66 -3.87 -4.17 -3.46 -3.58 -3.87 -3.94 -4.22 -3.44 -3.66 -3.95 -3.96 -4.24 -3.46 -3.68 -3.96 -3.95 -4.24 -3.47 -3.66 -3.95 -3.85 -4.18 -3.51 -3.57 -3.86 -3.82 -4.04 -3.46 -3.50 -3.69 -3.68 -3.80 -3.38 -3.35 -3.46 -4.42 -5.08 -4.58 -4.11 -4.82 -4.08 -4.62 -4.37 -3.77 -4.28
注：引自Zivot and Andrews表2、3、4和Perron(1997)表1。
AOADF(i) 临界值表见表5。AOADF(i) 统计量的临界值的绝对值大于相应ADF临界值，并以? = 0.5（结构突变点发生在样本区间的中心点）时达到最大。给定检验水平和?值，有下式关系存在。
AOADF(1) < AOADF(2) < AOADF(3)
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