yt = vt + ?1 vt-1 + ?1 vt-2 = … =
t?12
?i?0t?1?1ivt?i (yt只有有限记忆力)
Var(yt) = E(
?i?0?1ivt?i)2 =
11??12
?v2 (方差为有限值)
表3.1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较
方差
自相关系数
穿越零均值点的期望时间
记忆性
随机游走过程 t?u2 (无限的) 平稳的一阶自回归过程 ?u2/(1-?12) (有限的) ?k =?1k 有限的 暂时的
?k =1?(k/T)? 1, ? k, T? ?
无限的 永久的
20.5 考察序列单整性质的重要意义
至少有两个方面的原因使得我们要格外关注变量的单整性。第一个是非平稳变量导致的虚假回归问题。第二个是模型预测。 20.5.1 单整过程的概念
20.5.2 考察单整过程的意义
1． 虚假相关和虚假回归
用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。 ut ? IN(0, 1), ut ? I (0) vt ? IN(0, 1), vt ? I (0)
每次生成T=100的相互独立的{ut}和{vt}，并计算Ruv。重复1万次，从而得到Ruv的分布。 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, xt ? I (1) yt = yt-1 + vt , y0 = 0, yt ? I (1)
利用{ut}和{vt}，每次生成T=100的{xt}和{yt}并计算Rxy。重复1万次，从而得到Rxy的分布。
pt = pt-1 + xt , p0 = 0, pt ? I (2) qt = qt-1 + yt , q0 = 0, qt ? I (2) 利用{xt}和{yt}，每次生成T=100的{pt}和{qt}并计算Rpq。重复1万次，从而得到Rpq的分布。
1. 两个相互独立的I(0)变量{ut}和{vt}的相关系数Ruv的分布为正态（见图3.1a）。 2. 两个相互独立的I(1)变量{xt}和{yt}的相关系数Rxy的分布为倒U形（见图3.1b）。 3. 两个相互独立的I(2)变量{pt}和{qt}的相关系数Rpq的分布为U形（见图3.1c）。
6
43210-0.3-0.2-0.100.10.20.300.060.050.040.030.020.010-1-0.500.52.521.510.5 0-1-0.500.5 图3.1a 图3.1b 图3.1c
问题的严重性在于当变量非平稳时，认为R服从的是正态分布，但实际上R服从的却是图3.1b和图3.1c那样的倒U和U字型分布，因此增加了拒绝概率，本不相关的两个变量结论却是相关！
图3.1三条曲线叠加示意图 图3.2 t(98)分布和虚假回归条件下的t分布
由数据生成过程可知xt和yt为I(1)变量且相互独立。作如下回归 yt = ?0 + ?1xt + wt ,
?)的分布见图3.2。拒绝?1 = 0的概率大大增加。从而造成虚假回归（Granger 1974t(?1年提出）。
2． 预测机制
20.6 维纳过程与常用极限分布
20.6.1 维纳过程
维纳过程可看作是一个在 [0, 1] 区间内连续的随机游走过程。我们来看如何从随机游走过程构造维纳过程。
设xt = xt-1 + ut，x0 = 0，ut ? IN(0, ?2)。通过迭代可以得到：xT??Tt?1tu。
E(xT)??t?1E(ut)?0Var(xT)??t?1??T?2T2T
7
定义函数
?xj?1?(T?r?j?1)ujj?1j,?????r?,?j?1,2,?T?TT?T?yT(r)??
x?T,??????????????????????????????r?1??T?或者写为
yT(r)?x[T?r]?(T?r?[T?r])u[T?r]?1T?,?????r?1
其中，[T r ] 表示T r 的整数部分。比如T = 1000，r = 0.0204， 则 [T r ] = [20.4] = 20。YT (r)
是在泛函空间[0, 1] 内定义的一个右连续的随机变量。随着T的增大，yT(r) 在区间 [0, 1] 内越来越密集。下图是T=10、T=100以及T=1000时随机模型的yt (r)变化趋势图。
D我们关注的是当T??时，yT (r)的极限分布。由中心极限定理，xT/T????N(0,1)。
当T??时，T r??，因此，
x[T?r]Tr?由此可得：
D???N(0,1)。
yT(r)?x[Tr]?(T?r?[T?r])u[T?r]?1x[Tr]Tr?x[Tr]Tr??T?(T?r?[Tr])u[T?r]?1T???????????r??????????r
D?Op(T?1/2)???N(0,r)由yT(r)增量的独立性可得：
DyT(r2)?yT(r1)???N(0,r2?r1)
定义：对于任意一个连续的随机过程W(r )，r ? 0，r ? [0, 1]，如果满足如下条件 (1) W(0) = 0。
(2) 对于0?s (3) 对于每0?t1< t2<… W(r) 表示泛函空间D[0, 1] 中的标准维纳过程。而? W(r) 称作方差为? 2的维纳过程。 泛函中心极限定理（连续映射定理）：若f(?) 是泛函空间D[0, 1] 中的一个连续函数，则：当t→∞ 时， f (yt (r) ) ? f ( W(r) ). (3.21) 一般渐进理论与适用于非平稳过程的上述渐进理论的区别是对于前者样本矩收敛于一 8 个常数，而对于后者标准化的样本矩收敛于一个随机变量。在推导非平稳随机过程的样本统计量的极限分布过程中泛函中心极限定理代替了传统的中心极限定理。 20.6.2 几个常用的渐进分布结论 下面推导 T?3/2?Tt?1tx的极限分布。由(3.19)式 yT(r)?x[Tr]T1/2?xt?1t?1t,???r? (3.22) T1/2TT则yT (r) 是一个阶跃函数（阶跃始自 (t-1) / T, t = 1, 2, …, T )。在每一个阶跃内，函数值保 持不变。 对于常数c有下式成立， ? t/T(t?1)/Tcdv?cv|tt?1c?c(?)? v?(t?1)/TTTTv?t/T对于yT (r)，有 ?t/T(t?1)/TyT(r)di?TTyT(i) T利用 (3.22) 式和上式， T?3/2Txt?1T1/2yT(r)x?????t?1TTt?1t?1t?1t/TT ???t(t/?1)/TyT(r)dr???????????t?11T(t?1)/TyT(r)dr?yT(r)] T??yT(r)dr0根据连续映射定理，当T ? ?， T?3/2?xt?1Tt?1??yT(r)dr??W(r)dr (3.23) 0011用类似的方法可以证明，当T ? ?， T?2?xt?1?1TT2t?T?2?(xt?1Tt?1?ut)?T2?2?(xt?1T2t?1?2xt?1ut?ut2) (3.24) Txt?12?2?T?(1/2)?T?(2xt?1ut?ut2)t?1Tt?1??[yT(r)]2dr?op(1)??[W(r)]2dr0011 给出如下数据生成系统 yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID (0, ?u2) xt = xt-1 + vt , x0 = 0, vt ? IID (0, ?v2) E(ui vj) = 0, ? i, j 9 xt和yt是相互独立的。对于以下回归 ?+??xt +w?t, yt =?01?，??，t(??)，R2，DW的极限分布。 求?011当T ? ?， T?3/2?xt?1Tt?T?3/2?(xt?1Tt?1?ut?x0)?T?3/2?xt?1Tt?1?T?3/2?(ut?1Tt?x0) ???????????????????v?yT(r)dr?op(1)??v?Wv(r)dr0011同理, 当T ? ?，T?3/2?yt??u?Wu(r)dr, t?1010T1TT?2?yt2??u2?[Wu(r)]2dr t?1TT?2?xt2??v2?[Wv(r)]2dr t?101T?2?(yt?y)?T2t?1T?2?yt?[T2t?1T?3/2?12y]???tu??0[Wu(r)]dr?t?1?22T22T??W(r)dr? ?0u?11?2T?2?(xt?x)?T2t?1T?2?xt?[T2t?1T?3/2?1xt]??v??[Wv(r)]2dr??t?1?0?? W(r)dr??0v??2T?2?yxt?1Ttt?T?2?(yt?1?1Tt?1T?ut)(xt?1?vt)Tyt?1xt?1?2????????????????????u?vT??T?(yt?1vt?xt?1ut?utvt)?1/2?vT?1/2t?1?uTt?1????????????????????u?v??j?1TTj/T(j?1)/Tj/TYT(r)XT(r)dr?op(1)YT(r)XT(r)dr?op(1)10 (3.49) ????????????????????u?v??j?110(j?1)/T????????????????????u?v?YT(r)XT(r)dr?op(1)??u?v?Wu(r)Wv(r)dr 用泛函中心极限定理可以证明，当T ? ?，有 ?服从Wiener过程函数的分布，所以随着T的增大，??的分布发散。 ⑴ T -1/2?000.140.120.10.080.060.040.02-20-10010 (p130, (3.54) ) 10