第五章 第二节 解三角形
第五章 平面向量、解三角形
第二节 解三角形
第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题
1.(2009年广东卷文)已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2o且?A?75，则b?
( )
A.2 B．4＋23 C．4—23 D．6?2 答案 A
解析 sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?由a?c?6?2可知,?C?75,所以?B?30,sinB?0000000002?6 41 2由正弦定理得b?a?sinB?sinA2?61??2,故选A
2?624
( )
2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，cotA??12，则cosA? 5125512A． B. C. ? D. ?
13131313答案 D
12知A为钝角，cosA<0排 5cosA1212??,和sin2A?cos2A?1求得cosA??. 除A和B，再由cotA?sinA513123.(2009全国卷Ⅱ理）已知?ABC中，cotA??， 则cosA? ( )
5125512A. B. C.? D. ?
13131313解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=?答案 D
解析 已知?ABC中，cotA??12?，?A?(,?). 5234
cosA??11?tan2A??11?(?52)12??12 故选D. 13AC的值等于 ， cosA4.（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则
AC的取值范围为 .
答案 2(2,3)
解析 设?A??,?B?2?.由正弦定理得
ACBCACAC?,??1??2.
sin2?sin?2cos?cos?由锐角?ABC得0?2??90?0???45，
??????又0?180?3??90?30???60，故30???45??????23， ?cos??22?AC?2cos??(2,3).
b、5.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，c，
且sinAcosC?3cosAsinC, 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
2222sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.
解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0. 所以b?2ccosA?2
①
22222又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC
34
sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC
由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA c ②
由①，②解得b?4.
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
6.（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满
?????A25???足cos?，AB?AC?3．
25（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．
????????34A252A?cosA?2cos?1?,sinA?，解 （1）因为cos?，又由AB?AC?3
25525得bccosA?3,?bc?5，?S?ABC?1bcsinA?2 2（2）对于bc?5，又b?c?6，?b?5,c?1或b?1,c?5，由余弦定理得
a2?b2?c2?2bccosA?20，?a?25
7.（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满
?????A25???足cos?，AB?AC?3．
25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos2A2523?1?2?()?1? 2552又A?(0,?)，sinA?1?cosA?以bc?5，所以?ABC的面积为：
43，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3，所55114bcsinA??5??2 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5 所以a?b2?c2?2bccosA?25?1?2?3?25
8.（2009北京理） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B??3，
4cosA?,b?3。
5（Ⅰ）求sinC的值；
34
（Ⅱ）求?ABC的面积.
【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B?∴C??3,cosA?4， 52?3?A,sinA?， 35∴sinC?sin?313?43?2??. ?A??cosA?sinA?210?3?233?43， ,sinC?510 （Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA? 又∵B??3bsinA6?. ∴a?sinB5∴△ABC的面积S?,b?3，∴在△ABC中，由正弦定理，得
1163?4336?93. absinC???3??22510509.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=解 （1）f(x)=cos(2x+
?2)+sinx. 31c1，f()??，且C为锐角，求sinA. 324???1?cos2x132??sin2x )+sinx.=cos2xcos?sin2xsin?3332221?3,最小正周期?. 2
所以函数f(x)的最大值为
（2）f()=
c21133?sinC=－, 所以sinC?, 因为C为锐角, 所以
4222C??3,
又因为在?ABC 中, cosB=
123, 所以 , 所以 sinB?33sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?211322?32????. 3232634
10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.
（1）求?.的值;
（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?求角C.
解 （1）f(x)?2sinx?2,f(A)?3, 21?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)
因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为
0????,所以??（2）因为f(A)?为a?1,b??2.所以f(x)?sin(x??2)?cosx
?33,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因
622ab?,也就是sinAsinB2,所以由正弦定理,得
sinB?bsinA12?2??, a223?.
44???7?3??3???. 当B?时,C?????;当B?时,C????4641246412因为b?a,所以B??或B?【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、
c，cos(A?C)?cosB?32,b?ac，求B. 2解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=解：由 cos（A?C）+cosB=
3?(负值舍掉)，从而求出B=。 2333及B=π?（A+C）得 cos（A?C）?cos（A+C）=， 2234