解：（Ⅰ）?A、B为锐角，sinB?又cos2A?1?2sinA?2103102，?cosB?1?sinb? 10103， 5?sinA?5252，cosA?1?sinA?， 55253105102 ????5105102?cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB??0?A?B??
?A?B??4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C? 由正弦定理
3?2,?sinC?. 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b，c?5b
Qa?b?2?1，
?2b?b?2?1，?b?1
?a?2,c?5
??27.（2009上海卷文） 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m?(a,b)， ? n?(siBn??，,sAip?(b?2,a?2) .
???（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；
?????（2） 若m⊥p，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .
3uvv证明：（1）Qm//n,?asinA?bsinB,
即a?ab?b?，其中R是三角形ABC外接圆半径，a?b 2R2R??ABC为等腰三角形
uvuv解 （2）由题意可知m//p?0,即a(b?2)?b(a?2)?0
?a?b?ab
34
由余弦定理可知， 4?a2?b2?ab?(a?b)2?3ab
即(ab)2?3ab?4?0 ?ab?4(舍去ab??1)
?S?11?absinC??4?sin?3 223
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a+c-b)tanB=3ac,
2
2
2
则角B的值为 A.
B.
C.
D.
（ ）
? 6
? 3?5?或
66?2?或
33
答案 D
2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
5 18 B.
33 C. 42 D.
7 8答案 D
△ABC的内角A、3.（2008陕西）B、C的对边分别为a、b、c，若c?2，b?6，B?120则a等于 A．6 答案 D
??4.（2007重庆）在△ABC中，AB?3，A?45，C?75，则BC?
?，
（ ）
B．2
C．3 D．2 （ ）
Ａ．3?3 答案 Ａ
Ｂ．2
Ｃ．2
Ｄ．3?3 5.(2007山东)在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）
????2????????A.AC?AC?AB
????2????????B.BC?BA?BC
34
????2????????C.AB?AC?CD
答案 C
????????????????????2(AC?AB)?(BA?BC)D.CD? ????2AB?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列， 6.（2006年全卷I）
且c=2a，则cosB= A．
( )
1322 B． C． D． 4443答案 B 二、填空题
7.（2005福建）在△ABC中，∠A=90°，AB?(k,1),AC?(2,3),则k的值是 . 答案 ?3 28.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若
?3b?c?cosA?acosC，则cosA?_________.
答案 3 39.(2008湖北)在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,则
bccosA?cacosB?abcosC的值为 . 答案
61 21?，C?150，BC?1，则AB? . 310.（2007北京）在△ABC中，若tanA?答案
10
211.（2007湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，则B? ．
答案
5? 612.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ .
34
答案 3 三、解答题
14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏
?东45+?(其中sin?=?26??，0???90)且与点A相距1013海里的位置C. 26（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=402，AC=1013，?BAC??,sin??26. 26由于0???90,所以cos?=1?(由余弦定理得BC=
??262526)?. 2626AB2?AC2?2AB?ACcos??105.
105?155（海里/小时）. 23所以船的行驶速度为（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐 标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= 2AB=40, 2x2=ACcos?CAD?1013cos(45???)?30, y2=ACsin?CAD?1013sin(45???)?20. 所以过点B、C的直线l的斜率k=
20?2,直线l的方程为y=2x-40. 1034
又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.
|0?55?40|?35?7.
1?4解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得，
AB2?BC2?AC2cos?ABC?
2AB?BC402?2?102?5?102?13310==.
102?402?105从而sin?ABC?1?cos?ABC?1?在?ABQ中，由正弦定理得，
2910?. 101010ABsin?ABC10?40. ?AQ=?sin(45??ABC)2210?210402?由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP?BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt?QPE中，PE=QE·sin?PQE?QE?sin?AQC?QE?sin(45??ABC)
?=15?5?35?7. 5所以船会进入警戒水域.
14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，
可以选与塔底B在同一水平面内
的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s， 并在点C测得塔顶A 的仰角为?，求塔高AB． 解 在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得
BCCD?．
sin?BDCsin?CBD34