2?1.414，6?2.449）
解：在?ACD中，?DAC＝30°，?ADC＝60°－?DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0.1
又?BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是?CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 在?ABC中，
ABAC?，
sin?BCAsin?ABC即AB＝
ACsin60?32?6 ?sin15?2032?6?0.33km
20因此，BD?故B、D的距离约为0.33km。 12分
19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的
两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两
点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）
解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，
ABAC?在△ABC中，sin?BCAsin?ABC, ACsin60?32?6?,?即AB=sin15 20000因此，BD=
32?6?0.33km。 20故B，D的距离约为0.33km。
20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水
平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数
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据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
?1,?1解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM?dsin?2 ；
sin(?1??2)第二步：计算AN . 由正弦定理AN?dsin?2 ；
sin(?2??1)AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??1) . 第三步：计算MN. 由余弦定理MN?方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角?1，?1；B点到M，N点的府角?2，?2；A，B的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理BM?dsin?1 ；
sin(?1??2)第二步：计算BN . 由正弦定理BN?dsin?1 ；
sin(?2??1)BM2?BN2?2BM?BNcos(?2??2) 第三步：计算MN . 由余弦定理MN?21.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且sinA?510,sinB? 510（I）求A?B的值；
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（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。
510 ,sinB?510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310 ,cosB?1?sin2B?510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4
（II）由（I）知C?由
3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b
又∵ a?b?2?1
∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 ∴ a?2,c?5 22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a?2csinA
(Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为
332,求a＋b的值。
解（1）由3a?2csinA及正弦定理得，
a2sinAsinA?? csinC3QsinA?0,?sinC?3 2Q?ABC是锐角三角形，?C?（2）解法1：Qc??3
7,C??3.由面积公式得
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12absin?3?332,即ab?6 ① 由余弦定理得
a2?b2?2abcos?23?7,即a?b2?ab?7 ②
由②变形得（a+b)2?25,故a?b?5 解法2：前同解法1，联立①、②得
??a2?b2?ab?7 ???ab?6?a2?b2＝１３ ?ab?6消去b并整理得a4?13a2?36?0解得a2?4或a2?9 所以??a?2?a?3b?3或故a?b?5 ???b?223.（2009宁夏海南卷文） 如图，为了解某海域海底构造，
在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB?50m， BC?120m，于A处测得水深AD?80m，于B处测得水深
BE?200m，于C处测得水深CF?110m，求∠DEF的余弦值。
解：作DM//AC交BE于N，交CF于M．
DF?MF2?DM2?302?1702?10198， DE?DN2?EN2?502?1202?130，
EF?(BE?FC)2?BC2?902?1202?150．
在?DEF中，由余弦定理，
cos?DEF?DE2?EF2?DF22DE?EF?1302?1502?102?298162?130?150?65.
24.(2009湖南卷理). 在?ABC，已知
2???AB?????AC??3???AB?????AC??3BC2，求角A，B，C的大小.
解 设BC?a,AC?b,AB?c
由2???AB?????AC??3???AB?????AC?得2bccosA?3bc，所以cosA?32
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又A?(0,?),因此A??6
????????322由3AB?AC?3BC得bc?3a2，于是sinC?sinB?3sinA?
4所以sinC?sin(1335?3，sinC?(cosC?，因此 sinC)??C)?22464?2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C?)?0
3?5???4?由A=知0?C?，所以?，2C??，从而
63336???2?2C??0,或2C???,，既C?,或C?,故
3363?2????2?A?,B?,C?,或A?,B?,C?。
63666325..（2009天津卷理）（在⊿ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值： (II) 求sin?2A??????的值 4?ABBC ?sinCsinA（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=
sinCBC?2BC?25 sinAAB2?AC2?BD225（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= ?2AB?AC5于是 sinA=1?cos2A? 从而sin2A=2sinAcosA=
所以 sin(2A-
5 54322
,cos2A=cosA-sinA= 55???2)=sin2Acos-cos2Asin= 4441026.（2009四川卷理）在?ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且
310cos2A?,sinB?
510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a,b,c的值。
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