?ii?是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由.
29.已知函数f(x)?所截得的弦长恒为定值？如
ax在x?1处取得极值2。 2x?b（1）求函数f(x)的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m?1)上单调递增？
axax （3）若P(x0,y0)为f(x)?2图象上任意一点，直线l与f(x)?2x?bx?b的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围。
33
30.已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E22上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(1)求曲线E的方程；
(2)已知OA·OB＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.
31.已知函数f(x)?x2?alnx(a为实常数).
(1)若a??2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；
(3)若存在x?[1,e]，使得f(x)?(a?2)x成立，求实数a的取值范围.
exf(x)?1?ax2，其中a为正实数. 32.设
(1)当a?4时，求f(x)的极值点； 3(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
答 案
1、已知函数f(x)?lnx?a,g(x)?f(x)?ax?6lnx,其中a?R。 x（1）当a?1时，判断f(x)的单调性；
（2）若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h(x)?x2?mx?4,当a?2时,若?x1?(0,1),?x2?[1,2],总有g(x1)?h(x2)成立，求实数m的取值范围。 答案：解析：由f(x)?lnx?当 a?1时，f'(x)?ax?a,得f(x)的定义域为(0,+?)，f'(x)?2, xxx?1?0(x?0),f(x)在（0,??）上单调递增。 x225（2）由已知得，g(x)?ax??5lnx,其定义域为（0,??），g'(x)?a?a?5?ax?5x?a.
xx2xx2因为g(x)在其定义域内为增函数，所以?x?(0,??),g'(x)?0,即
ax2?5x?a?0,则a?而5x55x. x2?15 25，当且仅当x=1时，等号成立，所以a???2x?1x?12x122x2?5x?2x?,g'(x)?0（3）当a=2时，g(x)?2x??5lnx,g'(x)?由得，或22xx11x?2，当x?(0,)时， g?(x)?0;当x?(,1)时,g?(x)?0
221所以在（0，1）上，g(x)max?g()??3?5ln2
2而“?x1(0,1),?x2?[1,2],总有g(x1)?h(x2)成立”等价于“g(x)在（0，1）上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”。
又h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)}, 2. 已知函数f(x)?lnx?a(x?1)，a∈R． (I)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)当x?1时，f(x)≤
lnx恒成立，求a的取值范围． x?1
/ 解： (Ⅰ) 若a??1时，f(x)?x?1，(x?0)??????2分 xx2?1?0，又x?0 由f(x)?0得x/解得x?1，
所以函数f(x)的单调递增区间为(1,??)． ????4分 (Ⅱ)依题意得f(x)?lnx?0,即∴(a?1)lnx??12x?alnx?lnx?0， 2
12x， 212x ∵x?1 ，∴ lnx?0，∴a?1?2，
lnx1?x2∴a?1?(2)max ????6分
lnx?112?xlnx?xx/2 ， 设g(x)?2， g(x)?2(lnx)lnx?令g(x)?0，解得x?e 当1?x?e时，g(x)?0，g(x)在(0,e)单调递增；????8分 当x?e时，g/(x)?0，g(x)在(e,??)单调递减； ????10分 ∴g(x)max=g(e)??e，
∴a?1??e 即a?1?e．
3.已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)．
（I）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；
o
（II）若函数y?f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围
取值时，对于任意的t?[1,2]，函数g(x)?x3?x2[极值？
121212/12/1212m?f?(x)]在区间(t,3)上总存在2f?(x)?a?a(x?0) x11?x， ?????????????2分 ?1?xx（I）当a?1时，f?(x)? 令f?(x)?0时，解得0?x?1，所以f(x)在（0，1）上单调递增； ??4分 令f?(x)?0时，解得x?1，所以f(x)在（1，+∞）上单调递减． ???6分
（II）因为函数y?f(x)的图象在点（2，f(2)）处的切线的倾斜角为45， 所以f?(2)?1．
o
?2?2． ??????????????????8分 xm2m g(x)?x3?x2[?2?] ?x3?(?2)x2?2x，
2x2 所以a??2，f?(x)? g?(x)?3x2?(4?m)x?2， ?????????????????10分 因为任意的t?[1,2]，函数g(x)?x3?x2[m?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值， 2?g?(2)?0, 所以只需? ????????????????????12分
?g(3)?0,? 解得?37?m??9． ?????????????????????14分 34.已知三次函数f(x)的导函数f?(x)?3x2?3ax，f(0)?b，a．b为实数。m]
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点（a?1，f(a?1)）处切线的斜率为12，求a的值；
（Ⅱ）若f(x)在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且1?a?2，求函数f(x)的解析式。
解析：（Ⅰ）由导数的几何意义f?(a?1)=12 ?????1分
∴ 3(a?1)?3a(a?1)?12 ?????2分 ∴ 3a?9 ∴ a?3 ?????????3分
2（Ⅱ）∵ f?(x)?3x?3ax，f(0)?b ∴ f(x)?x?3232ax?b ??5分 2
由 f?(x)?3x(x?a)?0 得x1?0，x2?a ∵ x?［-1，1］，1?a?2
∴ 当x?［-1，0）时，f?(x)?0，f(x)递增；
当x?（0，1］时，f?(x)?0，f(x)递减。?????8分 ∴ f(x)在区间［-1，1］上的最大值为f(0) ∵ f(0)?b，∴ b=1 ????????10分 ∵ f(1)?1?3333a?1?2?a，f(?1)??1?a?1??a 2222
∴ f(?1)?f(1) ∴ f(?1)是函数f(x)的最小值，
34a??2 ∴ a? 2332∴ f(x)=x?2x?1
2ax2 5.已知函数f(x)?lnx?，（a?R,e为自然对数的底数）．
e（Ⅰ）求函数f(x)的递增区间；
（Ⅱ）当a?1时，过点P(0, t)(t?R)作曲线y?f(x)的两条切线，设两切点为 P2(x2,f(x2))(x1?x2)，求证x1?x2为定值，并求出该定值。 1(x1,f(x1))，P∴ ?解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(??, 0)?(0, ??)．
22a2(e?ax)????????????????????.2分 xeex2当a?0时，由f?(x)??0，解得x?0；
x2(e?ax)e?0，解得0?x?； 当a?0时，由f?(x)?exa2(e?ax)e?0，解得x?0，或x?．-------------4分 当a?0时，由f?(x)?exaf?(x)?所以当a?0时，函数f(x)的递增区间是(0, ??)； 当a?0时，函数f(x)的递增区间是(0, )；
当a?0时，函数f(x)的递增区间是(??, )，(0, ??)． ?????.6分 （Ⅱ）因为f?(x)?eaea222(e?x)??， xeex所以以P1(x1,f(x1))为切点的切线的斜率为
2(e?x1)； ex1以P2(x2,f(x2))为切点的切线的斜率为
2(e?x2)．??????????.8分 ex22x12(e?x1)?(0?x1)； eex1又因为切线过点P(0, t)，所以t?lnx1?2t?lnx22?2x22(e?x2)?(0?x2)????????????????..10分 eex2解得，x12?et?2 ，x22?et?2. 则x12?x22.
由已知x11x2,从而有x1+x2=0． 所以x1?x2为定值0.