f(x)的定义域为(0,??)．有
a?1x2?ax?a?1(x?1)[x?(a?1)]f(x)?x?a???xxx ————2分
/因为a?2，所以a?1?1．
//ff(x)?0x?a?11?x?a?10?x?1故当时；当或时(x)?0．
综上，函数f(x)在区间(1,a?1)上单调递减，在区间(0,1)和(a?1,??)上单调增加. ——————6分
g(x)?x3?x2?2xS?n3?n2?2na?1（II）由，知，所以n．
?3n2?n?2, (n?2)an???3n2?n?2?0 , (n?1)可得 ． ——————８分
11?(n?2)a(3n?2)(n?1)所以 n．
11111??(?) 因为 (3n?2)(n?1)3n(n?1)3n?1n ——————11分
111111111?????[(1?)?(?)???(?)]aa3an3223n?1n 所以 211111?(1?)???3n33n3
综上，不等式得证． ——————14分 11.已知函数f(x)?2ax?b?lnx． x1
处取得极值，求a，b的值； 2
（Ⅰ）若函数f(x)在x?1，x?
（Ⅱ）若f?(1)?2，函数f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围． 21解：（Ⅰ）f?(x)?2a?
b1?， 2xx1??f?(1)?0a????3． 由? ，可得 ?1?f?()?0??b?1?2?3?（Ⅱ）函数f(x)的定义域是(0,??)，
因为f?(1)?2，所以b?2a?1．
2ax2?x?(2a?1)(x?1)[2ax?(2a?1)]?所以f?(x)?
x2x2要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要f?(x)≥0或f?(x)≤0在(0,??)上恒成立． ????????10分
x?1?0恒成立，所以f(x)在(0,??)上是单调函数； 2x2a?11?1??1， 当a?0时，令f?(x)?0，得x1??1，x2?2a2a当a?0时，f?(x)?此时f(x)在(0,??)上不是单调函数；
当a?0时，要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要1?2a≥0，即0?a≤综上所述，a的取值范围是a?[0,]． 12.设f(x)?x3?1 2123?a?1?x2?3ax?1． 2（1）若函数f(x)在区间?1,4?内单调递减，求a的取值范围；
（2）若函数f(x)在x?a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间?1,4?内函数f(x)的单调性．
解：f??x??3x2?3?a?1?x?3a?3?x?1??x?a?
（1）∵函数f?x?在区间?1,4?内单调递减， ∵f?(4)≤0，∴a??4,???．????5分
（2）∵函数f?x?在x?a处有极值是1，∴f(a)?1． 即a3?313?a?1?a2?3a2?1?a3?a2?1?1． 222∴a2(a?3)?0，所以a?0或3．????9分
当a?0时，f?x?在???,0?上单调递增，在?0,1?上单调递减，所以f?0?为极大值，这与函数f?x?在x?a处取得极小值是1矛盾，所以a?0．
当a?3时，f?x?在?1,3?上单调递减，在?3,???上单调递增，即f?3?为极小值， 所以a?3时，此时，在区间?1,4?内函数f?x?的单调性是：
f?x?在?1,3?内减，在?3,4?内增．
13.已知函数f(x)?lnx?（1）当a?a(a?R)． x?19时，如果函数g(x)?f(x)?k仅有一个零点，求实数k的取值范围； 2（2）当a?2时，试比较f(x)与1的大小；
1111（3）求证：ln(n?1)??????（n?N*）．
3572n?199解：（1）当a?时，f(x)?lnx?，定义域是(0,??)，
22(x?1)119(2x?1)(x?2)?x?x?2． f(x)?0， 令，得f?(x)???2或x2(x?1)22x(x?1)211?当0?x?或x?2时，f?(x)?0，当?x?2时，f?(x)?0，
22
11 ?函数f(x)在(0,)．(2,??)上单调递增，在(,2)上单调递减． ?f(x)的极大值
2213是f()?3?ln2，极小值是f(2)??ln2．
22?当x??0时，f(x)???； 当x???时，f(x)???，
3?当g(x)仅有一个零点时，k的取值范围是k?3?ln2或k??ln2．
22（2）当a?2时，f(x)?lnx?，定义域为(0,??)．
x?1212x2?1?1，?h?(x)??令h(x)?f(x)?1?lnx???0， x?1x(x?1)2x(x?1)2?h(x)在(0,??)上是增函数．
①当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1； ②当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1； ③当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1．
2x?1?1，即lnx?（3）（法一）根据（2）的结论，当x?1时，lnx?． x?1x?1nk?1k?11k?1n1?令x?，则有ln， ??ln． ??kk2k?1kk?1k?12k?1?ln(n?1)??lnk?1n111k?1，?ln(n?1)?????．
352n?1k214.已知三次函数f(x)的导函数f?(x)?3x?3ax，f(0)?b，a．b为实数。m]
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点（a?1，f(a?1)）处切线的斜率为12，求a的值；
（Ⅱ）若f(x)在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且1?a?2，求函
数f(x)的解析式。
解析：（Ⅰ）由导数的几何意义f?(a?1)=12 ?????1分
∴ 3(a?1)2?3a(a?1)?12 ?????2分 ∴ 3a?9 ∴ a?3 ?????????3分
3（Ⅱ）∵ f?(x)?3x2?3ax，f(0)?b ∴ f(x)?x?32ax?b ??5分 2
由 f?(x)?3x(x?a)?0 得x1?0，x2?a ∵ x?［-1，1］，1?a?2
∴ 当x?［-1，0）时，f?(x)?0，f(x)递增；
当x?（0，1］时，f?(x)?0，f(x)递减。?????8分 ∴ f(x)在区间［-1，1］上的最大值为f(0) ∵ f(0)?b，∴ b=1 ????????10分 ∵ f(1)?1?3333a?1?2?a，f(?1)??1?a?1??a 2222∴ f(?1)?f(1) ∴ f(?1)是函数f(x)的最小值， ∴ ?34a??2 ∴ a? 2332∴ f(x)=x?2x?1 ??????12分 15.已知函数f(x)=
12x－ax + (a－1)lnx，a?1． 2(Ⅰ) 若a?2，讨论函数f(x)的单调性；
3（II）已知a =1，g(x)?2f(x)?x，若数列{an}的前n项和为Sn?g(n)，证明：
1111?????(n?2,n?N?)． a2a3an3解(Ⅰ) 可知f(x)的定义域为(0,??)．有
a?1x2?ax?a?1(x?1)[x?(a?1)] ————2分 f(x)?x?a???xxx因为a?2，所以a?1?1．
故当1?x?a?1时f/(x)?0；当0?x?1或x?a?1时f/(x)?0．
综上，函数f(x)在区间(1,a?1)上单调递减，在区间(0,1)和(a?1,??)上单调增加. ——————6分
3232（II）由a?1，知g(x)?x?x?2x，所以Sn?n?n?2n．
/?3n2?n?2, (n?2)?3n2?n?2． ——————８分 可得 an???0 , (n?1)
11?(n?2)． an(3n?2)(n?1)11111 因为 ??(?) ——————11分
(3n?2)(n?1)3n(n?1)3n?1n111111111所以 ?????[(1?)?(?)???(?)]
a2a3an3223n?1n11111? ?(1?)??3n33n3所以
综上，不等式得证． ——————14分 16.已知f(x)?2ax?b1?lnx在x?1与x?处都取得极值。 x2（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若对x?[,1]时，f(x)?c恒成立，求实数c的取值范围。
14bb1?lnx,?f'(x)?2a?2? xxxb1?f(x)?2ax??lnx在x?1与x?处都取得极值
x2?2a?b?1?011，即a?b??--------------7分 ?f'(1)?0，f'()?0。??23?2a?4b?2?0解：（1）?f(x)?2ax?
21x??lnx， 33x211(2x?1)(x?1)1x?1令f'(x)???2???得或 ?0x?33xx3x221111?x?[,1]，?f(x)在[,]上单调递减，在[,1]上单调递增。--------------10分
4422（2）由（1）可知f(x)??
1711715f()??ln4,f(1)??,而 f()?f(1)?(?ln4)?(?)??ln4?1?ln4?0， 4634636111所以f()?f(1)，即f(x)在[,1]上的最大值为?。--------------15分
443
要使对任意x?[1,4]时，f(x)?c恒成立，必须c??。
13132
17.已知函数f (x)＝x＋ax＋bx， a , b?R．
3(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；
(Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2． (Ⅰ)解:
f?(x)＝x?2ax?b，
2