11f(x)?0恰有两解，则f(1)?0，即?b?0，所以??c?0；
22121②若0?c?1，则f极大(x)?f(c)?clnc?c?bc，f极小(x)?f(1)??b
22c2c2?c(?1?c)?clnc?c??0 因为b??1?c，则f极大(x)?clnc?221f极小(x)???c，从而f(x)?0只有一解；③若c?1，则
21c2c2f极小(x)?clnc??c(?1?c)?clnc?c??0,f极大(x)???c, 则f(x)?0只
2221?c?0．????15分 225.已知抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x1?0)，
p过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l:y?于点M，当
2|FD|?2时，?AFD?60?．
（Ⅰ）求证：?AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交
直线l于点N，求?PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．
有一解.综上，使f(x)?0恰有两解的c的范围为?xx解：(1)设A(x1,y1)，则切线AD的方程为y?1x?1，
p2p所以D(2x1pp,0),Q(0,?y1)，|FQ|??y1，|FA|??y1，所以|FQ|?|FA|，[来
222源:学,科,网]
所以?AFQ为等腰三角形 ????3分
?且D为AQ中点，所以DF?AQ，?|DF|?2,?AFD?60，
??QFD?60?,p?1，得p?2，抛物线方程为x2?4y ????7分 22xx（II）设B(x2,y2)(x2?0)，则B处的切线方程为y?2x?2
22??y??由??y???x1x2?x?1x1x1x1224?P(x1?x2,x1x2)，?y?x??M(?,1) ?242242x1x2x2?y?1x??242
同理N(x22?,1)， 2x2x1x2(x2?x1)(4?x1x2)21x12x22所以面积S?(???① ??)(1?)?22x12x2416x1x2 设AB的方程为y?kx?b，则b?0
由??y?kx?b2?x?4y?x1?x2?4k代入①得： ?x2?4kx?4b?0，得?xx??4b?1216k2?16b(4?4b)2(1?b)2k2?b，使面积最小，则k?0 S??64bb(1?b)2b得到S?????② 令b?t，
b(1?t2)21(3t2?1)(t2?1)3?t?2t?，S?(t)?②得S(t)?， 2ttt所以当t?(0,33)时S(t)单调递减；当t?(,??)S(t)单调递增， 33所以当t?131632时，S取到最小值为，此时b?t?，k?0，
339123，即x1? ????15分 33所以y1?26.已知函数?（x）=
a9,a是正常数。（1）若f(x)= ?（x）+lnx,且a=,求函数f(x)
2x?1的单调递增区间；（2）若g(x)=∣lnx∣+?（x）,且对任意的x1,x2∈（0,2〕，且x1≠x2，都有
g(x2)?g(x1)＜-1，求a的取值范围
x2?x11192x2?5x?2???⑴f??x?=-﹥1=﹥0x﹥2或0﹤x﹤， fx??2x2?x?1?222x?x?1?所以函数f?x?的单调增区间为（0，
1）和（2，+∞）???????????3分 2⑵因为
g?x2??g?x1?g?x2??x2??g?x1??x1﹤-1，所以
x2?x1x2?x1?﹤0，
所以F?x?=g?x??x在区间（0,2】上是减函数。 ①
F?x?=lnx+
当
1
≦
x
≦
2
时
，
a1a?x?F??x????1， 2x?1x?x?1?2?x?1?12由F??x??0?a???x?1??x2?3x??3在x∈?1,2?上恒成立。
xx11?3，所以m??x??2x?2?3﹥0（1≦x≦2）， 2x27所以m?x?在[1,2]上为增函数，所以a?m?2??
2设m?x??x?3x?2②当0﹤x﹤1时，F?x?=-lnx+
a1a?x?F??x?????1， x?1x?x?1?22211??x?1??x?122222x?x???1由F-=在x∈（0,1）上恒成立。 ???x??F?xx????x????x?33x??x???00?aa????1133xxxx11?1?t??x??2x?2?1﹥0，所以t?x?在（0,1）上为增函数，所以xx27a?t?1??0，综上：a的取值范围为a≧
21227.已知函数f(x)?x?alnx(a?R)
2令t?x?=x?x?2（1）求f(x)的单调区间；
（2）设g(x)?f(x)?2x，若g(x)在[1,e]上不单调且仅在x?e处取得最大值，求a的取值范围．
ax2?a(x?0)---------2分 解：（1）f(x)?x??xx'' 若a?0，则f(x)?0，所以此时只有递增区间（0,??)---------4分
若a?0，当f'(x)?0时，得x?a 当f'(x)?0时，得0?x?a
所以此时递增区间为：（a,??)，递减区间为：（0，a)-------------6分
ax2?2x?a(x?0)，设h(x)?x2?2x?a(x?0) （2）g(x)?x??2?xx'
若g(x)在[1,e]上不单调，则h(1)h(e)?0，?(3?a)(e2?2e?a)?0 ?3?a?e?2e-------------10分
同时g(x)仅在x?e处取得最大值，?只要g(e)?g(1)即可
2e25e25?2e?----------14分 ?a的范围：(3,?2e?) 得出：a?222227. 已知函数f(x)?ax3?bx2?x(x?R,a,b是常数)，且当x?1和x?2时，函数f(x)取得极值
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）若曲线y?f(x)与g(x)??3x?m(?2?x?0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围
（文）解：（Ⅰ）f?(x)?3ax2?2bx?1， ??????????????????2分
?3a?2b?1?0,13?? 依题意f(1)?f(2)?0，即?解得a??,b?
64?12a?4b?1?0, ∴f(x)??1332x?x?x ?????????????????4分 64 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线y?f(x)与g(x)??3x?m(?2?x?0)有两个不同的
1332x?x?2x?m?0在??2,0?上有两个不同的实数解?5分 641332123设?(x)?x?x?2x?m，则??(x)?x?x?2， ???7分
6422交点，即
由??(x)?0的x?4或x??1
当x?(?2,?1)时??(x)?0，于是?(x)在??2,?1?上递增；
当x?(?1,0)时??(x)?0，于是?(x)在??1,0?上递减. ??????9
分
1?m???3??(?2)?0?1313???0?m?. 依题意有??(?1)?0??m????????11分 1212??(0)?0???m?0??
13. 12x2y2??1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. 28. 已知抛物线D的顶点是椭圆43∴实数m的取值范围是0?m?(1)求抛物线D的方程;
(2)已知动直线l过点P?4,0?,交抛物线D于A、B两点.
?i?若直线l的斜率为1,求AB的长;
?ii?是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由.
解：（1）?f(x)?2ax?所截得的弦长恒为定值？如
bb1?lnx,?f'(x)?2a?2? xxxb1?f(x)?2ax??lnx在x?1与x?处都取得极值
2x?2a?b?1?011?f'(1)?0，f'()?0。??，即a?b??--------------7分
23?2a?4b?2?0
21x??lnx， 33x1211(2x?1)(x?1)x?1x??0令f'(x)???2???得或
233xx3x21111?x?[,1]，?f(x)在[,]上单调递减，在[,1]上单调递增。--------------10分
4422（2）由（1）可知f(x)??
1711715f()??ln4,f(1)??,而 f()?f(1)?(?ln4)?(?)??ln4?1?ln4?0， 4634636111所以f()?f(1)，即f(x)在[,1]上的最大值为?。--------------15分
344
要使对任意x?[1,4]时，f(x)?c恒成立，必须c??。 29.已知函数f(x)?13ax在x?1处取得极值2。 2x?b（1）求函数f(x)的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m?1)上单调递增？
axax （3）若P(x0,y0)为f(x)?2图象上任意一点，直线l与f(x)?2x?bx?b的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围。
解：
a(x2?b)?ax(2x)（1）因为f?(x)? ····················2分 22(x?b)
而函数f(x)?ax在x?1处取得极值2， 2x?b