2?1a??,??f(1)??a?b?2,??3由题设知：? 解得? ????6分 3?b?7.??f(1)?1?2a?b?2,??3?(Ⅱ)解：因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点 ，
所以f?(x)?0，即x?2ax?b?0在(1,2)内有两个不等的实根．
2?f?(1)?1?2a?b?0,?f?(2)?4?4a?b?0,?故??1??a?2,2????4(a?b)?0.由 (1)+(3)得a?b?0.
2(1)(2)(3)(4)
由（4）得a?b?a?a，
因?2?a??1，故a?a?(a?)?21221?2，从而a?b?2. 4所以0?a?b?2． 18.已知函数f(x)=
12x-ax+(a-1)lnx，a?1。 2（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）证明：若a?5，则对任意x1，x2?(0,??)，x1?x2，有解：(1)f(x)的定义域为(0,??)。
f(x1)?f(x2) ??1。
x1?x2a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a???2分
xxx'（i）若a?1?1即a?2,则[来源:学#科#网]
(x?1)2f(x)?
x'故f(x)在(0,??)单调增加。
'(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f(x)?0;[来源:学科
网][来源:学_科_网]
当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f(x)?0
'
故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加。
(iii)若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加.
(II)考虑函数 g(x)?f(x)?x
?12x?ax?(a?1)lnx?x[来源:学科网] 2则g?(x)?x?(a?1)?a?1a?1?2xg?(a?1)?1?(a?1?1)2 xx由于1
g(x1)?g(x2)?0，即f(x1)?f(x2)?x1?x2?0，故
f(x1)?f(x2)??1，当0?x1?x2x1?x2时，有
f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)········12分。 ???1·
x1?x2x2?x1lnx，其中e是自然常数，a?R. x19．已知f(x)?ax?lnx,x?(0,e],g(x)?（Ⅰ）当a?1时, 研究f(x)的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f(x)?g(x)?；
2
（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）?f(x)?x?lnx，f?(x)?1?11x?1? ??1分 xx∴当0?x?1时，f/(x)?0，此时f(x)单调递减
当1?x?e时，f/(x)?0，此时f(x)单调递增 ????3分 ∴f(x)的极小值为f(1)?1 ??4分 （Ⅱ）?f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1， ∴ f(x)?0，f(x)min?1??5分
1?lnx1lnx1?，h/(x)?令h(x)?g(x)??， ????6分
x22x2当0?x?e时，h?(x)?0，h(x)在(0,e]上单调递增 ???7分
1111∴h(x)max?h(e)?????1?|f(x)|min ???9分
e2221∴在（1）的条件下，f(x)?g(x)????????????10分
2
（Ⅲ）假设存在实数a，使f(x)?ax?lnx（x?(0,e]）有最小值3，
1ax?1? xx① 当a?0时，x??0,e?，所以f/(x)?0， 所以f(x)在(0,e]上单调递减，
4
， f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?（舍去）
e
所以，此时f(x)无最小值. ??12分
111②当0??e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增
aaa1f(x)min?f()?1?lna?3，a?e2，满足条件. ??14分
a1③ 当?e时，x??0,e?，所以f/(x)?0，
af/(x)?a?所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3，a?4（舍去）， e所以，此时f(x)无最小值. ??15分
综上，存在实数a?e2，使得当x?(0,e]时f(x)有最小值3 .??16分 22．（本小题满分14分）
设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|，已知f(?1)?f(1) ，且f(?)?f()（a∈R，且
1a1aa≠0），函数g(x)?ax3?bx2?cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该
函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。 （1）试求a、b的值；
（2）若x?0时，函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方，求正整数c的值。
解析：（1）?f(?1)?f(1)，∴1?a?2?a?1 ①
又f(?)?f()，∴1?1a1a11??1?2，即1?a?2a?a?1 ② aa由①②得a?1，?a??1．又?a?1时，①、②不成立，故?a??1．------2分 ∴g(x)??x3?bx2?cx，设x1、x2是函数g(x)的两个极值点，则x1、x2是方程
g/(x)??3x2?2bx?c=0的两个根，??4b2?12c?0(c为正整数)，
322b?x13?bx12?cx1?x2?bx2?cx2∴x1+x2=，又∵ A、O、B三点共线， ?=，
3x1x2∴(x1?x2)[?(x1?x2)?b]=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=分
2b，∴b=0．----------------63
（2）
?x?0时，
f(xm?)， 2-----------------------7分 由g/(x)??3x2?c?0得x?上
单
ccc，可知g(x)在(0,)上单调递增，在(,??) 333调
递
减
，
g(x)极大值?g(cccc2cc． ---------------------9分 )???c?333333?c?1??3①由?得c?3,?c的值为1或2．（∵c为正整数） -----------------11
?2cc?2??33分 ②cc?1时，记g(x)在x?[1,]上切线斜率为2的切点的横坐标为x0， 33c?2，依题意得g(x0)?f(x0)， 3c?2?c?2,得c?2,与c?3矛盾． 3则由g/(x)??3x2?c?2得x0???x03?cx0?2x0,?x02?c?2,?（或构造函数h?x??2x?g?x?在x?1上恒正）
综上，所求c的值为1或2．
2
22.已知函数f(x)＝x＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．
22
解：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x＋bsinx－2＋2＝x＋bsinx，
依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
22
即x＋bsinx－(－x)－bsin(－x)＝0， 即2bsinx＝0， 所以b＝0，
2
所以f(x)＝x－2.
2
(2)∵g(x)＝x－2＋2(x＋1)＋alnx，
2
∴g(x)＝x＋2x＋alnx，
ag′(x)＝2x＋2＋.
x∵函数g(x)在(0,1)上单调递减， ∴在区间(0,1)内，
a2x2＋2x＋ag′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立，
xx2
∴a≤－(2x＋2x)在(0,1)上恒成立 .
2
∵－(2x＋2x)在(0,1)上单调递减， ∴a≤－4为所求.
23.已知f(x)?2ax?b1?lnx在x?1与x?处都取得极值。
2x（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若对x?[,1]时，f(x)?c恒成立，求实数c的取值范围。
14bb1?lnx,?f'(x)?2a?2? xxxb1?f(x)?2ax??lnx在x?1与x?处都取得极值
2x?2a?b?1?011，即a?b??--------------7分 ?f'(1)?0，f'()?0。??23?2a?4b?2?0解：（1）?f(x)?2ax?
21x??lnx， 33x1211(2x?1)(x?1)x?1x??0令f'(x)???2???得或
233xx3x21111?x?[,1]，?f(x)在[,]上单调递减，在[,1]上单调递增。--------------10分
4422（2）由（1）可知f(x)??
1711715f()??ln4,f(1)??,而 f()?f(1)?(?ln4)?(?)??ln4?1?ln4?0， 4634636111所以f()?f(1)，即f(x)在[,1]上的最大值为?。--------------15分
344
要使对任意x?[1,4]时，f(x)?c恒成立，必须c??。 24.设函数f(x)?clnx?1312x?bx(b,c?R,c?0)，且x?1为f(x)的极值点． 2(Ⅰ) 若x?1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间（用c表示）； (Ⅱ)若f(x)?0恰有两解，求实数c的取值范围．
cx2?bx?c解： f'(x)??x?b?，又f'(1)?0
xx所以f'(x)?(x?1)(x?c)且c?1，b?c?1?0 ????4分
x（I）因为x?1为f(x)的极大值点，所以c?1
当0?x?1时，f'(x)?0；当1?x?c时，f'(x)?0；当x?c时，f'(x)?0 所以f(x)的递增区间为(0,1)，(c,??)；递减区间为(1,c)．????7分
（II）①若c?0，则f(x)在(0,1)上递减，在(1,??)上递增