6.已知函数f(x)?kx,g(x)?（1）求函数g(x)?lnx xlnx的单调区间； x（2）若不等式f(x)?g(x)在区间(0,??)上恒成立，求实数k的取值范围；
ln2ln3lnn1（3）求证：4?4?????4?
2e23nlnx 解：（Ⅰ）?，故其定义域为(0g(x)?,??)
x1-lnx‘‘‘， 令>0,得，令 ?eg(x)?0?x?eg(x)g(x)<0,得x? 2xlnx故函数g(x)?的单调递增区间为(0,e)单调递减区间为(e,??)????4分
xlnxlnxlnx（Ⅱ）?x?0,kx?,?k?2，令h(x)?2
xxx1-2lnx‘‘又h(x，令)?h(x)?0解得x?e 3x‘当x在(0(x)，h(x)变化如下表 ,??)内变化时，hx
‘h(x)
(0,e)
+ ↗
e
0
(e,??)
- ↘
h(x)
1 2e由表知，当x?e时函数h(x)有最大值，且最大值为所以，k?1????10分
2e
lnx1lnx11（Ⅲ）由（Ⅱ）知2?)?4??(x?22ex2e xx2
ln2ln3lnn1111???????(??????) ?444222e23n223n
12e
111111?????????????2221?22?3(n?1)n23n111111?(1?)?(?)?????(?)?1??1
223n?1nnln2ln3lnn11111???????(??????)??4442222ee23n23n2
ln2ln3lnn1????4?即4?4?en2 23
ax?1. 7.已知函数f(x)?xe（Ⅰ）当a?1时，求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若对任意t??1?,2?， f(t)?t恒成立，求实数a的取值范围． ??2?x?1 xe（I）当a?1时，f(x)??f?(x)??x?2 ????????????????????????2分 ex 由f?(x)?0得x?2,f?(x)?0得x?2
?f(x)的单调递增区间为(??,2)，单调递减区间为(2,??).??????4分
（II）若对任意t?ax?1?1??1?>x恒成立，， 使得f(t)?t恒成立， 则x?时， ,2,2x????e22???? 即x?1?1?x时，a?e?恒成立????????????6分 ,2?x?2??x1111x，x?[,2]，则 g?(x)?e?2，x?[,2] x2x2121xx 设h(x)?e?2， Qh?(x)?e?3?0在x?[,2]上恒成立
xx21 ?h(x)在x?[,2]上单调递增
211x即g?(x)?e?2在x?[,2]上单调递增??????8分
x2 设g(x)?e?1112 Qg?()?e2?4?0，Qg?(2)?e??0
4211[,2]有零点m 在2x211?g?(x)?ex?2在[,m]上单调递减，在(m,2]上单调递增?????10分
x2?a?e?21?1?a?g()?2a?e?， ???2，即?122??a?e??a?g(2)?2?g?(x)?ex?8.已知函数f(x)?ax?lnx,a?R (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数a,使不等式f(x)?ax2对x?(1,??)恒成立,若存在,求实数a的取值范
围,若不存在,请说明理由.
1,x?0????????1分 x ①当a?0时,f'(x)?0,函数f(x)在(0,??)内是增函数,
【解】(Ⅰ)f'(x)?a?
即函数的单调增区间为(0,??)????????2分 ②当a?0时,令f'(x)?0,得x??1?0, a11且x?(0,?)时,f'(x)?0,又x?(?,??)时,f'(x)?0,????4分
aa所以函数f(x)递增区间为(0,?),递减区间为(?,??).?????5分
1a1a(Ⅱ)假设存在这样的实数a,使不等式f(x)?ax2对x?(1,??)恒成立
即ax2?ax?lnx?0(x?1)恒成立.令h(x)?ax2?ax?lnx(x?1), 则h(1)?0,且h(x)?0(x?1)恒成立??????????6分
12ax2?ax?1h?(x)?2ax?a?????????????7分
xx1①当a?0时,h?(x)???0,则函数h(x)在[1,??)上单调递减,于是h(x)?h(1)?0
x 与h(x)?0(x?1)矛盾,故舍去. ????????8分
②当a?0时,h(x)?ax2?ax?lnx?ax(x?1)?ln(x??) 而当x?1时,由函数y?ax2?ax和y??lnx都单调递减. 且由图象可知,x趋向正无穷大时,h(x)?ax(x?1)?ln1x1趋向于负无穷大. xy y=lnx(x>1)O x 这与h(x)?0(x?1)恒成立矛盾,故舍去. ????10分 (注:若考生给出抛物线y?ax?ax,y?lnx草图以说明, 如右,同样也按该步骤应得分给分)
2y=ax-ax(a<0)2 2ax2?ax?1?0等价于2ax2?ax?1?0(??a2?8a?0) ③当a?0时,h?(x)?x?1 记其两根为x1?0?x2(这是因为x1x2??0)
2a 易知x?(x1,x2)时,h?(x)?0,而x?(x2,??)时,h?(x)?0,
(i)若x2?1时,则函数h(x)在(1,x2)上递减,于是h(x)?h(1)?0矛盾,舍去; ???11分 (ii)若x2?1时,则函数h(x)在(1,??)上递增,于是h(x)?h(1)?0恒成立.
a?a2?8a?1(a?0),解得a?1??????12分 所以0?x2?1,即x2?4a综上①②③可知,存在这样的实数a?1,使不等式f(x)?ax2对x?(1,??)恒成立????13分
9设函数f(x)?1?a2x?ax?lnx(a?R). 2(Ⅰ) 当a?1时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a?1时，讨论函数f(x)的单调性.
（Ⅲ）若对任意a?(2,3)及任意x1,x2?[1,2]，恒有ma?ln2?f(x1)?f(x2) 成立，求实数m的取值范围.
解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,??).
' 当a?1时，f(x)?x?lnx,f(x)?1?1x?1?.令f'(x)?0,得x?1. xx 当0?x?1时，f'(x)?0;当x?1时，f'(x)?0. ?f(x)极小值=f(1)?1,无极大值.??????4分
'1[(1?a)x?1](x?1)(1?a)x2?ax?1（Ⅱ）f(x)?(1?a)x?a? ? ?
xxx1(1?a)(x?)(x?1)a?1 ? ??????????5分 x1(x?1)2'?1，即a?2时，f(x)???0, f(x)在(0,??)上是减 当
a?1x函数；
11?1，即a?2时，令f'(x)?0,得0?x?或x?1; a?1a?11?x?1. 令f'(x)?0,得
a?111?1，即1?a?2时，令f'(x)?0,得0?x?1或x?; 当
a?1a?11'. ??????????7分 令f(x)?0,得1?x?a?1 综上，当a?2时，f(x)在定义域上是减函数；
11)和(1,??)单调递减，,1)上单调递增； 当a?2时，f(x)在(0,在( a?1a?111,??)单调递减，在(1,)上单调递 当1?a?2时，f(x)在(0,1)和(a?1a?1 当
??8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a?(2,3)时，f(x)在[1,2]上单调递减， 当x?1时，f(x)有最大值，当x?2时，f(x)有最小值.
a3a3??ln2?ma?ln2???ln2 10分 222213113?0，所以m?0. 而a?0经整理得m?? 由2?a?3得???22a422a?f(x1)?f(x2)?f(1)?f(2)?
10. 设函数 1?a2f(x)?x?ax?lnx(a?R).2(Ⅰ) 当a?1时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a?1时，讨论函数f(x)的单调性.
（Ⅲ）若对任意a?(2,3)及任意x1,x2?[1,2]，恒有ma?ln2?f(x1)?f(x2) 成立，求实数m的取值范围.
解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,??).
' 当a?1时，f(x)?x?lnx,f(x)?1?1x?1?.令f'(x)?0,得x?1. xx 当0?x?1时，f'(x)?0;当x?1时，f'(x)?0. ?f(x)极小值=f(1)?1,无极大值.??????4分
'1[(1?a)x?1](x?1)(1?a)x2?ax?1（Ⅱ）f(x)?(1?a)x?a? ? ?
xxx1(1?a)(x?)(x?1)a?1 ? ??????????5分 x1(x?1)2'?1，即a?2时，f(x)???0, f(x)在(0,??)上是减 当
a?1x函数；
11?1，即a?2时，令f'(x)?0,得0?x?或x?1; a?1a?11?x?1. 令f'(x)?0,得
a?111?1，即1?a?2时，令f'(x)?0,得0?x?1或x?; 当
a?1a?11'. ??????????7分 令f(x)?0,得1?x?a?1 综上，当a?2时，f(x)在定义域上是减函数；
11)和(1,??)单调递减，,1)上单调递增； 当a?2时，f(x)在(0,在( a?1a?111,??)单调递减，在(1,)上单调递 当1?a?2时，f(x)在(0,1)和(a?1a?1 当
??8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a?(2,3)时，f(x)在[1,2]上单调递减， 当x?1时，f(x)有最大值，当x?2时，f(x)有最小值.
a3a3??ln2?ma?ln2???ln2 10分 222213113?0，所以m?0.解(Ⅰ) 可知而a?0经整理得m?? 由2?a?3得???22a422a?f(x1)?f(x2)?f(1)?f(2)?