?a(1?b)?2a?0?f?(1)?0?a?4? 所以?， 即?a 解得?
?2?f(1)?2?b?1?1?b?
所以f(x)?4x即为所求 ····················4分 21?x4(x2?1)?8x2?4(x?1)(x?1) （2）由（1）知f?(x)? ?(x2?1)2(1?x2)2
令f?(x)?0得：x1??1,x2?1 则f(x)的增减性如下表：
x f?(x) f(x)
（-∞，-1） 负 （-1，1） 正 （1，+∞） 负 可知，f(x)的单调增区间是[-1，1]，
?m??1?所以?2m?1?1??1?m?0.
?m?2m?1?所以当m?(?1,0]时，函数f(x)在区间(m,2m?1)上单调递增。 ·········9分
（3）由条件知，过f(x)的图象上一点P的切线l的斜率k为：
224(1?x0)?1?x0?221k?f?(x0)??4??4[?] 222222(1?x0)(1?x0)(1?x0)1?x0
令t?1，则t?(0,1]， 21?x0141的图象性质知： 21??；
22
此时，k?8(t?)?当t?1时，kmin4当t?1时，kmax?4
所以，直线l的斜率k的取值范围是[?1,4] 233
30.已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E22
上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(1)求曲线E的方程；
(2)已知OA·OB＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.
33
解：(1)依题意，圆心G到定点F(，0)的距离与到直线l：x＝－的距离相等，∴曲线
22
E是以F(，0)为焦点，直线l：x＝－为准线的抛物线.
∴曲线E的方程为y＝6x.(3分)
(2)当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y＝kx＋b (k≠0). 由?2
3
232
?y?kx?b2
消去x得ky－6y＋6b＝0，Δ＝36－24kb>0. 2?y?6x2
2
2
2
6by1y2(y1y2)by1y2＝，x1x2＝·＝＝2.
k6636kb26bOA·OB＝x1x2＋y1y2＝2＋＝－9，
kk∴b＋6kb＋9k＝0，(b＋3k)＝0，b＝－3k，满足Δ>0. ∴直线AB方程为y＝kx－3k，即y＝k(x－3)， ∴直线AB恒过定点(3,0).(7分)
当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x＝3，也过点(3,0). 综上，直线AB恒过定点(3,0).(8分) (3)设线段AB的中点为M(x0，y0)，则
2
2
2
x1＋x2y1＋y2y1－y2y1－y263x0＝＝2，y0＝，kAB＝＝22＝＝.
22x1－x2y1y2y1＋y2y0
6－6
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－2).
3令y＝0，得x＝5，故C(5,0)为定点.
3222
又直线AB的方程为y－y0＝(x－2)，与y＝6x联立，消去x得y－2y0y＋2y0－12＝
y0
y0
0.
由韦达定理得y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y0－12. ∴|AB|＝
1＋
1
2
2
kAB·|y1－y2|＝
(1＋)[(y1＋y2)－4y1y2]
9
2y0
2
＝
22222
(1＋)[4y0－4(2y0－12)]＝(9＋y0)(12－y0).
93
2
y20
又点C到直线AB的距离为h＝|CM|＝9＋y0， 11222
∴S△ABC＝|AB|·h＝(9＋y0)(12－y0)
23令t＝9＋y0(t>9)，则12－y0＝21－t.
设f(t)＝(9＋y0)(12－y0)＝t(21－t)＝－t＋21t， 则f′(t)＝－3t＋42t＝－3t(t－14).
当9
142
∴当t＝14时，[f(t)]max＝14×7.故△ABC面积的最大值为7.(13分)
3
3
注：第(3)问也可由AB直线方程y＝kx＋b及x1＋x2＝4，推出b＝－2k，然后转化为求
222
2
2
3
2
2
2
k关于k的函数的最值问题. 31.
已知函数f(x)?x2?alnx(a为实常数).
(1)若a??2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；
(3)若存在x?[1,e]，使得f(x)?(a?2)x成立，求实数a的取值范围.
2(x2?1)?0， （1）当a??2时，f(x)?x?2lnx，当x?(1,??)，f?(x)?x2故函数f(x)在(1,??)上是增函数．???????????????????4分
2x2?a(x?0)，当x?[1,e]，2x2?a?[a?2,a?2e2]． （2）f?(x)?x若a??2，f?(x)在[1,e]上非负（仅当a??2，x=1时，f?(x)?0），故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]min?f(1)?1． ??????????????????6分
若?2e2?a??2，当x??a时，f?(x)?0；当1?x?2?a时，f?(x)?0，此时f(x) 2是减函数； 当
?a?a?x?e时，f?(x)?0，此时f(x)是增函数．故[f(x)]min?f() 22
?aaaln(?)?． 222若a??2e2，f?(x)在[1,e]上非正（仅当a??2e2，x=e时，f?(x)?0），故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min?f(e)?a?e2．??????????????8分
综上可知，当a??2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当?2e2?a??2时，f(x)
的最小值为
?aaaa；当a??2e2时，f(x)的最小值为a?e2， ln(?)?，相应的x值为2222相应的x值为e．??????????????????????????10分 （3）不等式f(x)?(a?2)x， 可化为a(x?lnx)?x2?2x．
∵x?[1,e], ∴lnx?1?x且等号不能同时取，所以lnx?x，即x?lnx?0，
x2?2x因而a?（x?[1,e]）??????????????????12分
x?lnxx2?2x(x?1)(x?2?2lnx)令g(x)?（x?[1,e]），又g?(x)?，???????14分
x?lnx(x?lnx)2当x?[1,e]时，x?1?0,lnx?1，x?2?2lnx?0，
从而g?(x)?0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，
故g(x)的最小值为g(1)??1，所以a的取值范围是[?1,??)． ?????????16分
exf(x)?1?ax2，其中a为正实数. 32.设
(1)当a?4时，求f(x)的极值点； 3(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
ex4f(x)?19解：(Ⅰ)当a?时，4
1?x233∴
f'(x)?ex?4x2?8x?3??4?3?1?x2??3?2
令f'(x)?0得x1?13,x2? 22
x 1????,?? 2??13 ?13? , 22???22?0 ?3?,???? 2??f'(x) f(x) ?? ?? 0 ?? ∴f(x)的极大值点是(Ⅱ) f(x)?'13；极小值点是 2222ex?ax2?2ax?1??1?ax?
∵f(x)为R上的单调函数，且a为正实数 ∴??2a??4a?0即0?a?1 （1）a=1 b=0 3分 （2）∵lnx?2t?lnx恒成立 ∴t?2xlnx恒成立 x 令h(x)?2xlnx,则h?(x)?2?2lnx
令h?(x)?0,则x? ∴当0?x?∴t??1 e112时,h?(x)?0，∴h(x)的最小值为h()?? eee2 8分 e1m2?1(x?m)(mx?1)?（3）F?(x)?x??，
xmmx令F(x)=0，得x?m或x?当 0?m?1 m11时，?2 ，x?m为F(x)在区间（0,2）上的极大值点 2m111?2，x?m和x?为F(x)在区间（0,2）上的极值点 当?m?1时，1?2mm当m?1时，F(x)在区间（0,2）上无极值点
111??1，x?m和x?为F(x)在区间（0,2）上的极值点 2mm111当m?2时，?，x?为F(x)在区间（0,2）上的极大值点
m2m111?，x?为F(x)在区间（0,2）上的极大值点 当m?2时，0?m2m当1?m?2时，
由以上可知：当当0?m?1?m?1或1?m?2时，F(x)在区间（0,2）上有两个极值点 21或m?2时，F(x)在区间（0,2）上有一个极值点； 2当m?1时，F(x)在区间（0,2）上无极值点