第5章 定积分及其应用
本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．
本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．
通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．
5.1 定积分的概念与性质
5.1.1 引例
1．曲边梯形的面积
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面
积．
不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在的问题是f(x)在[a,b]上是非常数函数，因此它的面积就不能简单地用矩形面积公式计算．但是，由于f(x)在[a,b]上连续，当x变化不大时，f(x)变化也不大，因此，如果将区间分割成许多小区间，相应地将曲图5-1
边梯形分割成许多小曲边梯形，每个小区
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间上对应的小曲边梯形可以近似地看成小矩形．所有的小矩形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值．显然，分割得越细，近似的程度越好．当分割无限细密时，小矩形面积之和的极限就是所要求的曲边梯形的面积．
根据上面的分析，曲边梯形的面积可按下述步骤来计算： （1）分割 在区间[a,b]内任取n?1个分点，依次为 a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，
它们将区间[a,b]分割成n个小区间
2 ， ? ， n）， [xi?1,xi]（i?1 ，并用?xi表示每个小区间[xi?1,xi]的长度，即
2 ， ? ， n）?xi?xi?xi?1（i?1 ，， 用直线
2 ? ， n?1）x?xi（i?1 ，，，
把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如图5-1所示）． 2 ，? ， n）上任取一点?i，作以f(?i)为（2）近似代替 在每个小区间[xi?1,xi]（i?1 ，高、?xi为底的小矩形，其面积为f(?i)?xi；当分点不断增多，又分割得较细密时，由于f(x)连续，它在每个小区间[xi?1,xi]上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的
小曲边梯形的面积．
（3）求和 n个小矩形面积之和就是该曲边梯形面积的近似值，即
S??f(?i)?xi；
i?1n（4）取极限 记所有小区间长度的最大值为?，
??max{?x1 ， ?x2 ， ? ， ?xn}，
当??0时，和式?f(?i)?xi的极限值就是曲边梯形的面积，即
i?1nS?lim?f(?i)?xi．
??0i?1n2．变速直线运动的位移
某物体作变速直线运动，已知速度v?v(t)是时间区间?T1,T2?上t的连续函数，且v(t)?0，求该物体在由T1到T2这段时间内所经过的位移s．
由于速度v是时间t的函数，所以求位移s不能直接按匀速直线运动物体的位移公式来
计算．但是，由于速度函数v?v(t)是区间[T1,T2]上的连续函数，在很短的一段时间内，速度的变化很小，近似于匀速．因此，如果把时间间隔分得很小，那么在一小段时间内，就
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可以用匀速直线运动代替变速直线运动，求其位移的近似值．具体计算如下：
（1）分割 在区间[T1,T2]内任取n?1个分点，依次为
T1?t0?t1?t2???tn?1?tn?T2，
它们将区间[T1,T2]分割成n个小区间
2 ， ? ， n）， [ti?1,ti]（i?1 ，并用?ti表示区间[ti?1,ti]的长度，即
2 ， ? ， n）?ti?ti?ti?1（i?1 ，，
2 ，? ， n）上任取一个时刻?i，用?i时刻（2）近似代替 在每个小区间[ti?1,ti]（i?1 ，的瞬时速度v(?i)来近似代替小区间[ti?1,ti]上各个时刻的速度，从而得到每个小区间上所经过位移的近似值，即v(?i)?ti；
（3）求和 n段时间上的位移之和就是所求变速直线运动物体位移的近似值，即
s??v(?i)?ti；
i?1n（4）取极限 记所有小区间长度的最大值为?，即
??max{?t1 ， ?t2 ， ? ， ?tn}，
当??0时，和式?v(?i)?ti的极限值就是所求变速直线运动的位移s，即
i?1ns?lim?v(?i)?ti．
??0i?1n5.1.2 定积分的定义
定义5.1 设函数f(x)在[a,b]上有定义，用分点
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，
2 ， ? ， n）将区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi]（i?1 ，，各个小区间的长度依次为
2 ， ? ， n） 2 ， ? ， n）?xi?xi?xi?1（i?1 ，．在每个小区间[xi?1,xi]任取一点?i（i?1 ，，作乘积f(?i)?xi，并求出和式S? ?x?f(?)?x．记??max??x，iin1 2 ，??? ， ?xn?，如果不论对[a,b]
i?1怎样分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点?i怎样取法，只要当??0时，和S总趋于确定的
极限A，这时我们称极限A为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作
? b af(x)dx?lim?f(?i)?xi． (5.1)
??0i?1n其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，f(x)dx称为被积表
达式，a，b分别称为积分下限和上限．
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根据定积分的定义，前面两个引例都可以用定积分概念来描述：
曲边梯形的面积等于y?f(x)在其底边所在的区间[a,b]上的定积分，即
A?区间?T1,T2?上的定积分，即
? b af(x)dx；
变速直线运动的物体从时刻T1到T2内所经过的位移s等于其速度函数v?v(t)在时间
s??v(t)dt．
T1 T25.1.3 定积分的几何意义
（1）当y?f(x)?0，定积分?f(x)dx的几何意义为：由连续曲线y?f(x)及直线
a bx?a ，x?b ，y?0所围成的曲边梯形的面积（如图5-2（a）所示）．
（2）当y?f(x)?0时，定积分?f(x)dx的几何意义为：由连续曲线y?f(x)及直线
a bx?a ，x?b ，y?0所围成的曲边梯形面积的负值（如图5-2（b）所示）．
（3）当f(x)取值有正有负时，定积分?f(x)dx的几何意义为：介于x轴、函数f(x)的
a b图形及直线x?a ，x?b之间的各部分面积的代数和（如图5-2（c）所示）．
?s??bf(x)dx
a s??abf(x)dx
（a） （b） （c）
图5-2
由定积分的定义可以看出：定积分?f(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]
a b有关，而与积分变量是什么无关，即
? b af(x)dx??f(m)dm．
a b如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间[a,b]上可积；否则就说
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不可积．
什么样的函数才可积呢？通过深入的讨论可以得到结论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积．由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间包含的任何闭区间上可积．同时也可以得到结论：具有有限个间断点的有界函数也是可积的．显然，无界函数是不可积的．
5.1.4 定积分的性质
显然可以得出：若函数f(x)在[a,b]上可积，k为常数，则kf(x)在[a,b]上也可积，且
?? b b akf(x)dx?k?f(x)dx．
a b即常数因子可提到积分号前．
若函数f(x)、g(x)在[a,b]上可积，则f(x)?g(x)在[a,b]上也可积，且有
a[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx．
a a b b性质5.1（可加性） 函数f(x)在[a,b]上可积，对任意的c?(a,b)，f(x)在[a,c]与[c,b]上都可积，有
? a a b af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx．
a c b a a b c bdx???(f)dxx．一般地，当a?b时，?f(x)dx?0；而?f(x)于是性质5.1无论c内
分还是外分区间[a,b]都成立．
性质5.2 设函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)?0，x?[a,b]，则?f(x)dx?0．
a b推论（保序性） 若x?[a,b]函数f(x)、g(x)在[a,b]上可积，且f(x)?g(x)，则
? b af(x)dx??g(x)dx．
a b性质5.3 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)也在[a,b]上可积，且
? b af(x)dx?? b b af(x)dx．
性质5.4（估值不等式） 设M及m分别是f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则
m(b?a)??f(x) dx?M(b?a)．
a性质5.5（积分中值定理） 若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
? b af(x)dx?f(?)(b?a)．
积分中值定理的几何意义 若f(x)在[a,b]上非负连续，则y?f(x)在[a,b]上的曲边
b1梯形的面积等于以f(?)?f(x)dx为高，[a,b]为底的矩形的面积．请读者自己作出?ab?a