第5章 定积分及其应用 117
草图．
一般地，称
b1f(x)dx为f(x)在[a,b]上的平均值． ?ab?a 思 考 题
定积分的值与什么有关？与什么无关？
习 题 5.1
1．用定积分的几何意义计算： （1）?2xdx；
ba
（2）? a ?a?a2?x2dx；
（3）?(1?x)dx；
21（4）?sinxdx．
??2．比较下列各组定积分值的大小： （1）?xdx，?x2dx；
1 10 0
（2）?ln xdx，?ln tdt；
e e1 1?1?（3）?3dx，???dx；
?230??3．估计定积分的值：
1x ?1x （4）?lnxdx，?(lnx)2dx．
2 21 1（1）?exdx；
40
（2）? 3 1xdx． x2?15.2 微积分基本公式
5.2.1 积分上限函数
定义5.2 设函数f(x)在区间[a,b]上连续， 且x为[a,b]上的任一点，我们把函数f(x)在[a,x]上的定积分?f(x)dx称为积分上限函数．记为
ax?(x)??f(x)dx．
a x
118 高等数学
为避免混淆，把积分变量改为t，于是上式写成
?(x)??f(t)dt．
a x定理5.1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数?(x)?导数，并且它的导数为
? x af(t)dt在[a,b]上具有
??(x)?dx． (5.2) f(t)dt?f(x) （a?x?b）
dx?a x a定理5.2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数?(x)??f(x)dx是f(x)在[a,b]上的一个原函数．
dxdx例１ 求（1）?esintdt； （2）?tanetdt．
dx0dx?1dx解 （1）?esintdt?esinx；
dx0d?xdx2dx?tt?tanex2x?2xtanex． （2）?tanedt?2??tanedt?dx?-1?dxdx?1 2 2222 例2 求limx?0? 1 cosxe?tdt2x2．
解 这是一个
0型未定式，由洛必达法则，得 0 1 cosx?limx?0e?tdtx22?limx?0?? cosx 1e?tdt2x2sinxe?cos?limx?02x2x?1． 2e例3 设f(x)在[0,??)内连续且f(x)?0，证明函数F(x)??? x 0 xtf(t)dtf(t)dt在[0,??)内为单
0调增加函数．
证 由积分上限函数的导数公式，得
dxdx， tf(t)dt?xf(x)f(t)dt?f(x)．
dx?0dx?0所以
F?(x)?xf(x)?f(t)dt?f(x)?tf(t)dt 0 0 x x(?f(t)dt) 0 x2?f(x)?(x?t)f(t)dt 0 x(?f(t)dt) 0 x．
2由题设知，0?t?x，f(t)?0，(x?t)f(t)?0，所以
第5章 定积分及其应用 119
x x? 0(x?t)f(t)dt?0且?f(t)dx?0，
0从而F?(x)?0(x?0)，这就证明了F(x)在[0,??)内为单调增加函数．
5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式
用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿－莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分紧密地联系起来．
定理5.3 若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
?? b a b af(x)dx?F(b)?F(a)． (5.3)
b a此公式叫做牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式．记作
f(x)dx?F(x)xa?F(b)?F(a)．
证 由定理5.2知，?(x)??f(x)dx是函数f(x)的一个原函数，所以
F(x)??(x)?C（C为常数），
即
F(x)??f(t)dt?C，
a x令x?a，代入上式，得F(a)?C，于是
?再令x?b，代入上式，得
x af(t)dt?F(x)?F(a)， f(t)dt?F(b)?F(a)．
?? 2 b a例4 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：
1??（1）??x??dx； （2）?4tan2xdx；
10x??311（3）?； （4）dx?0|x?1|dx． 01?x2 2 解 （1）? 2 12?x31?1?15?2x?dx； ?(x??2)dx???2x?4????2?1x?x3x6???1 22（2）?tanxdx??(secx?1) dx?(tanx?x)|?1?02 0 ?4?42?40?； 4（3）? 1 1?1； dx?arctanx|?001?x24120 高等数学
31211213． (1?x)dx?(x?1)dx?(x?x)|?(x?x)|?201?0?10222绝对值函数求定积分时，应先去绝对值号，插入改变符号的分点．
3（4）?|x?1|dx? 1 思 考 题
设f(x)在[a,b]上连续，那么它有无穷多个原函数，在用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分时，会不会因取不同的原函数，而得到不同的结果？
习 题 5.2
1．计算下列各式的导数: （1）y?(? x2 01?t2dt)；
（2）y?(? cosx 0etdt)；
2（3）y??sin(3t?t2)dt；
0 x（4）y??tan(1?t3)dt；
x0（5）y??ln(1?t)dt；
x30
（6）y?? cos x sinxetdt.
22．求下列各极限:
?（1）limx?0 x2 0sint2dtx6； （2）limx?0(?etdt)2 x2?? 0x 0tedt2t2；
1dt?01?t（3）limx；
x?0?sintdt x2 （4）limx?0? 0 xt2dtx．
0 0t(t?sint)dt3．求函数F(x)??te?tdt的极值．
x204．求下列定积分： （1）?|sinx|dx；
2?0
（2）?|x?2|dx．
0-41?2x?1,?1?x?0,5．设f(x)???x求?f(x)dx．
?10?x?1.?e,6．求下列定积分：
第5章 定积分及其应用 121
（1）? 2x3dx；
（2）1 0? 2 1x3dx； （3）? 1xdx；
（4）? 91 0 xdx；
1（5）? -11-2xdx； （6） 2 ?exdx；
1（7）? ?0sin2x2 dx；
（8）? 31 01?x2dx． 5.3 定积分的换元法和分部积分法
5.3.1 定积分的换元法
定理5.4 设函数f(x)在[a,b]上连续，函数x??(t)满足条件： （1）?(?)?a ，?(?)?b；
（2）?(t)在[?,?]（或[?,?]）上具有连续导数，且其值域不越出[a,b]? 则有
? bx? ? af(x)d?f[?(t)]??(t)dt． ?这个公式称为定积分的换元公式．
例1 计算下列定积分的值：
（1）? a?x2dx 0a2(a?0)； （2）? 4x?2x；
02x?1d（3）? ln2ex?1dx；
（4） 0 ? 2x2?1 1xdx. 解 （1）令x?asint，（??2?t??2）则dx?acostdt， a2?x2?a2?a2sin2t?acost，当x?0时t?0；当x?a时t??2． ? aa2?x2dx ? ?2dt?a22tdt?a2cos2t)dt
0?acost?acost 0? ?2 0cos2? ?2 0(1??a2?2(t?12sin2t)|210?4?a2； （2）令t?2x?1，则x?t2?12，dx?tdt，当x?0时t?1；当x?4时t?3．(5.4)