第5章 定积分及其应用 127
a例3 计算广义积分?解 因为lim? 01dx． 22a?x1???，所以点a为被积函数的瑕点． 22x?aa?xax a1arcsinx?0??． ?0a2?x2dx?arcsina| 0?xlim?aa21例4 讨论广义积分?12dx的敛散性．
?1x解 函数12在区间[?1,1]除x?0外连续，且lim12??．
x?0xx11dx?01dx?11dx， ??1x2??1x2?0x20 01)?1???，所以01dx发散，那么 11dx也发散． 因为?12dx??1|??lim(???1x2??1x2?1xx1x?0xbdx的敛散性． 例５ 讨论广义积分?a(x?a)q解 x?a是函数的瑕点，
bdx?bdx?limln(x?a)| b???； （1）当q?1时，? a?ax?ax?aa(x?a)qbdx?lim1(x?a)1?q| b???； （2）当q?1时，? aa(x?a)qx?a1?q ? ? ? ?dx?lim1(x?a)1?q| b?1(b?a)1?q．
aa(x?a)qx?a1?q1?q因此，当q?1时，此广义积分收敛，其值为1(b?a)1?q；当q?1时，此广义积分发
1?q散．
计算（判断）广义积分的值（收敛与发散）的步骤是：
（3）当q?1时，? b ?（1）计算定积分?f(x)dx；（2）考察lim a bb???? b af(x)dx或lima???? b af(x)dx．
思 考 题
1．广义积分与常义积分有何不同？ 2．广义积分? ?? 0sinxdx收敛吗？
128 高等数学
习 题 5.4
1．判断下列广义积分的敛散性，若收敛，计算其值．
??dx) （1）? (a?0；
ax2??dx（3）?；
2x2?x?2??dx（5）?； 21x(x?1) （2）? xdx；
??1?x2?? （4）?epxdx (p?0)；
0?? （6）?（8）? ?? e dx；
x(lnx)2（7）?（9）? ?? 0 e?xcosxdx； xe?xdx；
??2 01dx； 1x??arctanxdx． （10）?11?x2?? 2．讨论广义积分? ?? edx的敛散性．
x(lnx)k
（2）?lnxdx．
3．讨论下列广义积分的敛散性：
11（1）? dx；
01?x 105.5 定积分的应用
前面我们讨论了定积分的概念及计算方法，在此基础上进一步来研究它的应用．定积分在实际生活中有着广泛的应用，本节主要介绍它在几何、物理及经济方面的应用，即利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、变力所作的功、已知边际函数求总量等．
5.5.1 微元法
我们知道，用定积分求曲边梯形面积问题时的思路是：
将区间[a,b]分成n个子区间，所求之曲边梯形的面积A为每个子区间上小曲边梯形的面积?Ai之和，即
A???Ai；
i?1n第i个子区间上取?Ai的近似值
?Ai?f(?i)?xi；
第5章 定积分及其应用 129
得总和
A??f(?i)?xi；
i?1n取极限得
A?lim?f(?i)?xi???0i?1n? b af(x)dx．
综上所述在解决具体问题时，用定积分计算所求量F的步骤是： （1）选取一个积分变量x，并确定积分区间[a,b]；
,]b上任取一个区间[x,x?dx]，（2）在[a求出相应于这个小区间的部分量?F的近似值，
即元素dF?f(x)dx；
（3）将元素dF在[a,b]上积分，即得
F?? b af(x)dx．
用上述步骤解决问题的方法叫做定积分的微元法.
5.5.2 几何应用
1．平面图形的面积
用微元法不难得出： （1）设平面图形由曲线y?f(x)与y?g(x)及直线x?a与x?b所围成（如图5-3所示），取x为积分变量，面积元素dA?[f(x)?g(x)]dx，则平面图形的面积为
S??[f(x)?g(x)] dx；
a b
图5-3 图5-4
（2）设平面图形由曲线x??(y)与x??(y)及直线y?d与y?c所围成（如图5-4所
130 高等数学
示），取y为积分变量，面积元素dA?[?(y)??(y)]dy，则平面图形的面积为
S??[?(y)??(y)]dy．
c d例1 计算抛物线y?x与y?x所围成的图形的面积.
解 （1）如图5-5所示．
2??y?x（2）解方程组?2，得交点(0,0)及(1,1)，以x为积分变量，则积分区间为?0,1?；
??y?x（3）确定上下曲线 f(x)=x，g(x)=x2；
（4）计算图形的面积
22S??(x?x2)dx?(2x2?1x3)0?1．
0333例2 计算抛物线y2?2x与直线y??2x?2所围成的图形的面积. 解 （1）如图5-6所示．
?y2?2x1（2）解方程组?，得交点(,1)及(2,?2)，取y为积分变量，则积分区间为
2?y??2x?2??2,1?；
1 13（3）确定左右曲线?(y)?（4）计算图形的面积
1121y，?(y)?1?y； 221y?1y2)dy?(y?1y2?1y3)24621?2S??(1? ?2?9． 4 (1,1)
图5-5 图5-6
第5章 定积分及其应用 131
2．旋转体的体积
由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，即为旋转体，这直线叫做旋转轴．
（1）求由连续曲线y?f(x)、直线x?a、x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（如图5-7所示）．
取x为积分变量，则x?[a,b]，对于区间[a,b]上的任一区间[x,x?dx]，它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，dx为高的圆柱体体积．即体积元素为
dv???f(x)?dx；
所求的旋转体的体积为
V???[f(x)]2dx．
a b2（2）由曲线x??(y)，直线y?c,y?d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转（如图5-8所示），所得旋转体体积为
V???[?(y)]2dy．
c d
图5-7 图5-8
例3 一喇叭可视为由曲线y?x2、直线x?1及x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体，如图5-9所示，求此旋转体的体积．
解 在[0,1]上任取一点x，此旋转体的体积微元可近似地视为以f(x)为半径的圆为底（即以面积为A(x)??[f(x)]2的圆为底）的柱体，从而体积微元为