第5章 定积分及其应用 137
二、公式、方法、技能
1．牛顿-莱布尼兹公式
若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
? b af(x)dx?F(b)?F(a)，常记为?f(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)．要注意“连续”．
a bb2．定积分的换元法
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x??(t)满足条件： （1）?(?)?a ，?(?)?b；
（2）?(t)在[?,?]（或[?,?]）上具有连续导数，且其值域不越出[a,b]， 则有?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt．
a ? b ?使用定积分的换元法时应注意两点：（1）换元的同时，一定要换限；（2）用t???1(x)引入新变量t时，一定要注意反函数x??(t)的单值、可微等条件．
3．定积分的分部积分法
|v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u?(x)、v?(x)，设函数u(x)、则?uv?dx?uv a bba??ud?vx．
a b4．广义积分
设函数f(x)在区间?a,??)上连续，取b?a，如果极限lim积分?分? a ?? ab???? b af(x)dx存在，则称广义
f(x)dx收敛，记作? ?? af(x)dx?lim ?? ab???? b af(x)dx；如果上述极限不存在，则称广义积
x??? ??f(x)dx发散．且可简记为：?f(x)dx?F(x)|??a?limF(x)?F(a)；
??类似地还有：
? b ??f(x)dx?F(x)|b???F(b)?limF(x)；?x??? ??f(x)dx?F(x)|?????limF(x)?limF(x).
x???x???广义积分计算的解题程序为：
（1）区别类型（无穷区间上的广义积分、无界函数的广义积分）； （2）求出被积函数的原函数； （3）按定义求出各广义积分的值； （4）求出广义积分值的代数和． 5．求平面图形的面积
（1）画出平面区域的图形，找出曲线与水平轴或曲线之间的交点； （2）选择相应的积分变量及积分区间；
138 高等数学
（3）写出面积的积分表达式进行计算． 6．求旋转体的体积
曲线y?f(x)，f(x)?0，x?a，x?b所围成的曲边梯形绕x轴旋转时，利用切片法，即把旋转体看作是由一系列与旋转轴垂直的圆形薄片所组成的，以此薄片体积作为体积元素．
三、重点、难点解析
1．对定积分概念的理解
（1）正确理解定积分的定义
定积分的定义实质上是告诉我们一种解决问题的思想方法——微元法，它主要用于对区间[a,b]上某一量的计算．例如，底为区间[a,b]、高为f(x)的曲边梯形面积的计算；作变速直线运动的物体，在某一时间区间[a,b]上位移的计算等等．定义采用分割、近似代替、作和式、取极限四步，把要算的量归结为和式的极限lim??0 b?f(?)?x，当该极限存在时，
iii?1n就称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作?f(x)dx=lim a??0?f(?)?x．
iii?1n应当指出：在定积分的定义中，积分区间的分法和各小区间上点的取法都是任意的，因此定积分?f(x)dx只与被积函数f(x)以及积分区间[a,b]有关，而与区间[a,b]的分法和
a b?i的取法以及积分变量用什么字母表示都无关．
（2）定积分?f(x)dx的几何意义
a b b当y?f(x)?0，?f(x)dx为：由连续曲线y?f(x)及直线x?a ，x?b，y?0所围成
a的曲边梯形的面积；
当y?f(x)?0时，?f(x)dx为：由连续曲线y?f(x)及直线x?a ，x?b，y?0所围
a b成的曲边梯形面积的负值；
当f(x)取值有正有负时，定积分?f(x)dx为：介于x轴、函数f(x)的图形及直线
a bx?a，x?b之间的各部分面积的代数和．
（3）正确理解?f(x)dx、?a bf(x)dx、?f(t)dt三者的联系与区别：
a x设f(x)的一个原函数为F(x)，则
?f(x)dx?F(x)?C是函数族；
? b af(x)dx?F(a)?F(b)是一个确定的实数；?f(t)dt?F(x)?F(a)是函数族中的一个确定
a x的函数，是原函数之一．
第5章 定积分及其应用 139
2．对积分上限函数的理解
积分上限函数：设函数f(x)在[a,b]上连续，且x为[a,b]上的一点，我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分?f(x)dx称为积分上限函数．
a x（1）它是区间[a,b]上的函数，记为?(x)??f(x)dx或?(x)??f(t)dt；
a a x x（2）?f(t)dt?F(x)?F(a)是一个确定的函数，是函数f(x)的一个原函数；
a x（3）??(x)?dx． f(t)dt?f(x)（a?x?b）?adx 复 习 题 ５
1．比较?xdx和01?x 1 ? 1 0ln(1?x) dx的大小．
2．设函数y?y(x)由方程x??3．求下列极限： （1）limx?0x32x?y 1e?tdt?0确定，求曲线y?y(x)在x?0处的切线方程．
2?? 0tdtx；
?（2）limx?0 x 0sint2dtx3．
0t(t?sint)dt4．求下列定积分： （1）?(3x?2x?1)dx；
2 a0
1??（2）??x??dx；
1x?? 22 1（3）?1dx； 21?x3 3
（4）?（5）?x|x? 10 1| dx； 21?x202x（6）?2dx；
?1x?1 121 ?2 12dx；
（7）?3dx；
x 10
（8）?cos2xdx．
??2? 6 5．求下列定积分： （1）? e 1 (1?lnx)4 dx； x
（2）?2cos3xsinxdx；
0 （3）?? 0sinx?sin3x dx；
（4）?2 02?x2dx；
140 高等数学
4（5）?（7）? 12dx；
x(1?x)
（6）?（8）? 3dxx21?x2 14；
1 x2?1 dx； x 0 xdx； 2x?1??sinx（9）?2?(?cos2x)dx；
?1?x22 ?（10）?2?(|x|?sinx)2dx．
26．求下列定积分： （1）?xexdx；
10
（2）?xlnxdx；
e1 （3）?xsinxdx；
3 ?0（4）?exsinxdx；
?20 （5）?arcsinxdx；
1 20（6）?1|lnx|dx．
ee7．求下列定积分：
-11（1）?3dx；
-?x
ex（3）?dx；
-?1?ex 0
1dx； 1x??1dx； （4）?exln3x（2）? ?? （5）? 1 01 dx； 1?x
ex（6）?2 dx．
0x ?11 8．设F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dt，求F?(x)．
xx0 09．计算? ?? 01dx．
e?e?xx 10．设f(0)?1，f(2)?3，f?(2)?5，求?xf??(2x)dx．
1011．设函数f(x)在?a,b?上连续，且单调增加，求证：F(x)?12．求曲线y?x3及直线y?2x所围成的图形的面积．
x1f(t)dt在(a,b)上单调增加．
x?a?a 13．求y?ex，y?sinx，x?0与x?1所围图形绕x轴旋转生成的旋转体体积．
14．由y?x3，x?2，y?0所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转，求所生成的两个旋转体体积． 15．一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x?0移至x?a时，克服媒质阻力所作的功？
16．有圆柱形水池，深15米，口径20米，盛满水，把水抽尽要作多少功？
17．半径等于1的半球形水池，盛满了水，欲把池中水吸尽，要作多少功？ 18．求函数的极值f(x)??(t?1) etdt．
x019．求函数F(x)??t(t?4)dt在??1,5?上的最大值和最小值．
x020．设f(x)在[a,b]上连续，证明?f(x) dx??f(a?b?x) dx．
b ba a第5章 定积分及其应用 141
自我检测题5
1．选择题（每小题2分，共20分）：
x????（1）设f(x)在区间[0,1]上连续，则F(x)??tf(cost)dt在??,?是（ ）
0?22?（A）奇函数； （B）偶函数； （C）非奇非偶函数； （D）非负函数．
（2）下列定积分结果正确的有（ ） （A）?f?(x)dx?f(x)?C；
ba（B）?f?(x)dx?f(b)?f(a)；
ba （C）?f?(2x)dx? ba1?f(2b)?f(2a)?； 2（D）?f?(2x)dx?f(2b)?f(2a)
basinxcosx4dx?（ ） 21?x（A）?； （B）??； （C）0； （D）2?．
xx2（4）设F(x)?f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limF(x)?（ ）
x?ax?a?a（A）a2； （B）a2f(a)； （C）0； （D）不存在． （3）? ?2? ?2（5）函数y??(t?1)etdt有（ ）
x0（A）极小值点x??1； （C）极小值点x?0； （6）设I?? （B）极大值点x??1； （D）极大值点x?0．
1 0x4dx，则I的值 （ ） 1?x1122； （B）≤I≤1； （C）≤I≤； （D）I≥1．
55210 （A）0≤I≤（7）设f(x)是连续函数，则?f(x)dx??f(a?b?x)dx等于（ ）
b ba a（A）0； （B）1； （C）a?b； （D）?f(x)dx．
ba（8）在下列广义积分中，收敛的是（ ） ?dx?dx?dx?（A）?； （B）?2； （C）?． xdx； （D）?1x1x11x
（9）设I1??4xdx，I2?? ? ?40 0xdx，I3??4sin2xdx，则I1、I2与I3间的关系为（ ）
?0（A）I1?I2?I3； （B）I2>I1?I3； （C）I3?I1?I2； （D）I1?I3?I2．
（10）设函数f(x)在[a,b]上连续，则曲线y?f(x)与直线x?a，x?b，y?0所围成的平面图形的面积等于（ ）
142 高等数学
（A）?f(x)dx；
b
a（B）|?f(x)dx|；
ba（C）?|f(x)|dx；
b（D）f?(?)(b?a) (a???b)．
a2．填空题（每小题3分，共30分）： （1）由定积分的几何意义计算下列积分值：?（2）
d21?t2dt? ； ?dxx 2 04?x2dx? ；
（3）比较下列积分的大小：?xdx 21? 2 1xdx；
（4）估计下列积分的值： ≤?(x2?1)dx≤ ；
41（5）函数F(x)??(2? x11)dt(x?0)的单调减少区间的为 ； t（6）??( x2sinx)?dx= ； x （7）设?x(2?3x)dx?2，则a? ；
a0（8）?|x?1|dx? ；
30（9）已知F(x)是f(x)的原函数，则?f(t?a)dt? ；
xa（10）? 1?sinx dx? ．
?11?x213．计算下列定积分（每小题4分，共40分）： 2x?1dx； （1）??1x?21x（3）?dx；
-15?4x2dx（5）?；
22xx?1 1
（2）? ?6 01 dx； cos22x （4）? 1 0 (1?x2)3dx；
（6）?ln(x?x2?1)dx；
20 （7）?xsinxdx；
2 ?20 （8）?sin7xdx；
?20（9）?lnxdx；
10
（10）? ?? ??1dx．
x?2x?224．计算下列各题（第（1）、（2）题每题各3分，第（3）题4分，共10分）： （1）设f(x)?? sinx ?xarctan(1?t2)dt，求f?(0)；
（2）求由抛物线y?x2及直线y?x与y?2x所围成图形的面积； （3）求由y?x2及x?y2所围成图形绕y轴旋转生成的旋转体体积．