132 高等数学
dV??(x2)2dx，
所求旋转体的体积V为
11V???x4dx??(x5)|1??． 0552y2x例4 计算椭圆2?2?1分别绕x轴和y轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的
ab体积．
解 （1）设椭圆绕x轴旋转所成的旋转体的体积为Vx，这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆
y?ba2?x2，
a及x轴所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（如图5-10所示），于是所求旋转椭球体的体积为
22a224??ab2． bbVx???2(a?x)dx??2(a2x?1x3)|a?a??a33aa（2）设椭圆绕y轴旋转所成的旋转体的体积为Vy（如图5-10所示），则
x?ab2?y2，
b于是所求旋转椭球体的体积为
22b224??a2b． aaVy???2(b?y)dy??2(b2y?1y3)|b?b??bb33b y?b2a?x2a x?a2b?y2b
图5-9 图5-10
5.5.3 物理应用
1．变力沿直线所作的功
例５ 把一个带电量为?q的点电荷放在r轴的原点O处，它产生一个电场，这个电场
第5章 定积分及其应用 133
对周围的电荷产生作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原
q点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为F?k2（k为常数）如图5-11所示，
r当单位正电荷在电场中从r?a处沿r轴移动到r?b（a?b）处时，计算电场力F对它所作的功．
解 如图5-11所示，在上述移动过程中，电场对这单位正电荷的作用为是变力．取r为积分变量，它的变化区间为[a,b]．设[r,r?dr]为[a,b]上任一小区间，当单位正电荷从r
q移动到r?dr时，电场力对它所作的功近似于k2dr，即功元素为
rqdW?k2dr，
rW??dW?k? a b b aq?1?dr??kq??r2?r?ba?11??kq???．
?ab?例6 一圆柱形的贮水池高为5 m，底圆半径为3 m，池内充满了水．把池内的水全部吸出要作多少功？
解 如图5-12所示，取深度x为积分变量，它的变化区间为[0,5]，在[0,5]上任取一小区间[x,x?dx]，这一薄层水的高度为dx．水的比重为9.8千牛/米3，因此如果x的单位为m，这薄层水的重力为9.8??32dx,这薄层水吸出池外作的功近似地为dW?88.2?xdx，此为功元素，所求的功为
5125W??88.2?xdx?88.2?(x2)|5?3462（千焦） 0?88.2??022 +q O
a
+1 r r+dr
b
r
图5-11 图5-12
134 高等数学
,
2．水压力
例7 设某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为10 m和6 m，高为20 m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力．
解 如图5-13所示，直线AB的方程为
(20,3)
xy???5．
100,20]选择x为积分变量，它的变化区间为[0,20]，在[图5-13
上任取一小区间[x,x?dx]，由于dx很小，相应于区间
[x,x?dx]等腰梯形被截下一窄条，它可近似看作水平放入水中，且位于点x处，受到的水压力为整个闸门受到的水压力P的元素，即
xdP?rgx?2y?dx?2rgx(??5)dx，
10从而
20x（r?1）． P??2rgx(??5)dx?14374（千牛）
010求变力所作的功的步骤为：
（1）选择适当的坐标系，确定积分变量及积分限，把所求量归结为定积分；
（2）任取一小区间[x,x?dx]，分析这一区间上的数量关系，运用“以匀代变”的思想，写出所求部分量的近似式，即微元法；
（3）对微元积分，即得所求量．
5.5.4 经济应用
例8 设某产品的边际收入为R?(q)?2(2?q)e，其中q为销售量，R?R(q)为总收入，求该产品的总收入函数．
解 总收入函数
?q2R(q)??R?(x)dx??2(2?q)edx?4?edx?2?xedx
0 0 0 0 q q?x2 q?x2 q?x2q??8(e)|0?4(xex?2x?2q?2e)|0?4qex?2q?2．
例9 已知生产某产品x单位(百台)的边际成本和边际收入分别为
1，R?(x)?7?x（万元/百台）， C?(x)?3?x（万元/百台）
3（1）若固定成本C(0)?1万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数；
第5章 定积分及其应用 135
（2）产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？ 解 （1）总成本为固定成本与可变成本之和，即
x11C(x)?C(0)??(3?x)dx?1?3x?x2；
036总收入函数为
x1R(x)?R(0)??(7?x)dx?7x?x2；
02总利润为总收入与总成本之差，故总利润L为
112L(x)?R(x)?C(x)?(7x?x2)?(1?3x?x2)??1?4x?x2；
26344（2）由于L?(x)?4?x，令4?x?0，得惟一驻点x?3．
33根据该题实际意义知，当x?3百台时，L(x)有最大值，即最大利润为
2． L(3)??1?4?3??32?5（万元）
3 思 考 题
利用定积分求平面图形的面积的步骤是什么？
习 题 5.5
1．求下列图形的面积：
（1）由曲线y?2?x2及直线y??x所围成的图形； （2）由曲线xy?1与直线y?x ，y?2所围成的图形； （3）由抛物线y?x2，y?(x?2)2与直线y?0所围成的图形；
?p?（4）由抛物线y2?2px与其点?,p?处的法线所围成的图形；
?2?（5）由抛物线y2?4(x?1)与y2?4(1?x)所围成的图形； （6）由曲线y?sinx与y?sin2x在[0,?]上所围成的图形． 2．求下列旋转体的体积：
（1）求圆(x?5)2?y2?16绕y轴旋转一周生成的旋转体体积；
（2）求y?x2与x?y2所围图形，绕x轴旋转一周而成的旋转体体积；
136 高等数学
x2y2（3）求椭圆??1分别绕x轴和y轴旋转一周生成的旋转体的体积；
49（4）由y?x3，x?2 ，y?0所围图形分别绕x轴和y轴旋转一周生成的两个旋转体的体积． 3．一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由x?0移至x?a时，克服媒质阻力所作的功．
4．有一弹簧，原长1m，每压缩１cm需力5?9.8?10?3Ｎ，若自80cm压缩至60cm，问外力做功多少？
5．一容器装满水，容器形状为由抛物线x2?4py，y轴和y?p所围图形绕y轴旋转所成旋转体，今把水从容器顶部全部抽出，问至少需做多少功？
本章知识要点
一、基础知识脉络
??定积分的概念定积分的概念与性质???定积分的性质????积分上限函数及导数?微分基本公式???牛顿-莱布尼兹公式???定积分的换元积分法?定积分的计算??定积分的分部积分法??定积分及定积分的应用?无限区间上的广义积分?广义积分???无界函数的广义积分????平面图形的面积几何应用?????旋转体的体积????变力所做的功?定积分的应用?物理应用????液体压力????? ???经济应用?