122 高等数学
t2?1?24x?231322 dx ? ?tdt?(t?3)dt ?02x?1?1t2?1111271223； ?(t3?3t)|1?[(?9)?(?3)]?2323332t2t（3）令ex?1?t，则ex?1?t2，exdx?2tdt，dx?xdt?2dt．当x?0时，t?0；
et?1当x?ln2时，t?1．
2ln212t12?x1e?1dx； ? dt?(2?)dt?(2t?2arctant)|?2?0?0?0t2?1?01?t22??tndtt，（4）令x?s当x?1时，t?0；当x?2时，t?，在区间[0,]ect，则dx?secta33上sect是单值的，
? 2 1|tant|x2?1secttantdt??3tan2tdt dx??30sect0x ???．
03用换元法计算定积分，变量替换的目的往往是去掉被积函数中的根号，在进行变量替换时，需注意积分限做相应的改变．
??(sect?1)dt?(tant?t)|?3? ?32?30例2 若f(x)在[?a,a]上连续且为偶函数，则? a ?af(x)dx?2?f(x)dx．
0 a证 由f(x)为偶函数，有f(?x)?f(x)，令x??t，则dx??dt．
?所以
0 ?af(x)dx??? a 0 af(?t)dt?? 0 a 0f(?t)dt??f(?x)dx??f(x)dx；
0 aa0? ?af(x)dx?? ?a af(x)dx??f(x)dx??f(?x)dx??f(x)dx
0 0 0 a 0 a a a a??[f(x)?f(x)]dx?2?f(x)dx．
0讨论 若f(x)在[?a,a]上连续且为奇函数，问? ?af(x)dx?？
提示 若f(x)为奇函数，则f(?x)?f(x)?0，从而
? a ?af(x)dx??[f(?x)?f(x)]dx?0．
0 a例2给出了奇（偶）函数在对称区间上积分的重要结论．遇到这类积分，使用这一结论可以简化这类积分的计算．例如：
1xdx??14?x2＝０．
第5章 定积分及其应用 123
5.3.2 定积分的分部积分法
定积分分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u?(x)、v?(x)，则
? b a?uv?dx?uv|ba??uvdx 或
a b? b audv?uv|ba?? vdu (5.5)
a b例3 计算?arcsinxdx．
012解
?1 2 0arcsinxdx?xarcsinx|?? 120 12 011?xdx xdarcsinx????220261?x ?111????2d(1?x2)??1?x212201?x212 120??3??1． 122例4 计算?xcosxdx．
0 ?2解
? ?2 0xcosdx??0xd(sinx)?xsinx|??0 ?2?20 ?2???2sinxdx?(?0)?cosx|0??1．
22例5 计算?exdx．
0 1解 令x?t，则x?t2，从而dx?2tdt．当x?0时，t?0；当x?1时，t?1．
? 1 0exdx?2?ettdt?2?tdet?2tet| 0 ?2?etdt?2e?2et| 0 ?2．
0 0 0 1 11 11思 考 题
1．定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有何异同？ 2．定积分的换元法与不定积分的换元法有何异同？
习 题 5.3
1．利用函数的奇偶性计算下列定积分： （1）?sinxedx；
?x2??
（2）?4x3cos4xdx；
?2? ?2 124 高等数学
1（3）?21 (arcsinx)21?x22．计算下列定积分：
-2 dx；
（4）? x3sin2xdx．
?5x4?2x2?15（1）?2 02?x2dx；
（2）? 3dxx21?x2 1?4；
dx（3）? ；
11?x 4
（4）?tan3xdx；
0 ex（5）?dx ；
-11?exe2?lnxdx； （7）?1x 1 sin(lnx)dx；
1xe2 1（8）?dx．
1x1?lnx（6）?e 3．求下列定积分的值： （1）?xedx；
?x 10
1
（2）? 32 0 arccosxdx；
（3）?(lnx)2dx；
e1 （4）?xcos2xdx；
?0（5）?4 1lnxdx； x（6）?xlnxdx．
e04．已知xex为f(x)的一个原函数，求?xf?(x)dx．
05．证明?sinxdx??cosnxdx（n为非负整数）．
n ?2 ?20 05.4 广 义 积 分
前面所讨论的定积分是以有限积分区间与有界被积函数为前提的，这样的定积分称为常义积分．但是在实际问题中，有时还需要研究无穷区间上的定积分或无界被积函数的定积分，这两类被推广了的定积分统称为广义积分．
5.4.1 无穷区间上的广义积分
定义5.3 设函数f(x)在区间[a,??)上连续，取b?a，记
? ?? af(x)dx?limb???? b af(x)dx， (5.6)
b???上式称为函数f(x)在区间[a,??)上的广义积分．如果极限lim? b af(x)dx存在，那么称广义
第5章 定积分及其应用 125
?? ??积分? af(x)dx收敛，如果上述极限不存在，则称广义积分? ?? b af(x)dx发散．即
x???? af(x)dx?lim?f(x)dx?limF(x)|ba?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)，
b??? ab???b???可简记为：
? ?? af(x)dx?F(x)|?? (5.7) a?limF(x)?F(a)．
x???a???类似地，设函数f(x)在区间(??,b]上连续，如果极限lim称此极限为函数f(x)在区间(??,b]上的广义积分，记作? b ??? b af(x)dx(a?b)存在，那么
f(x)dx，即
?么称广义积分? b ??f(x)dx?lima???? b af(x)dx?F(x)|b． (5.8) ???F(b)?limF(x)x??? 0 ??设函数f(x)在区间(?????)内连续，如果广义积分? ?? ??f(x)dx和? ?? 0f(x)dx都收敛，那
f(x)dx收敛，即
0 ??? ?? ??f(x)dx??f(x)dx?? ?? 0f(x)dx?limx???a???? 0 af(x)dx?limb???? b 0f(x)dx
． (5.9) ?F(x)|?????limF(x)?limF(x)x???如果上式右端有一个广义积分发散，那么广义积分? ?? ??f(x)dx发散．
例1 计算下列广义积分：
????1dx； e?xdx； （1）? （2）2?0??1?x????11（3）?； （4）dxdx． 2?e1xlnxx??1dx?arctanx|???limarctanx?limarctanx 解 （1）?????1?x2x???x??? ? ???(?)??； 22 （2）? ?? 0e?xdx??? ?? 0??e?xd(?x)??e?x|0??(0?1)?1；
??111??dx?d(lnx)??|e??(0?1)?1； ?eln2xexln2xlnx??1??1??（4）????，所以广义积分?dx?ln|x||1dx发散．
11xx??1dx(a?0)的敛散性． 例2 讨论广义积分?axp（3）? ?? 126 高等数学
??解 当p?1时，?当p?1时，? ?? a a1dx???1dx?lnx| ?????；
a?axxp 1dx?1x1?p| ?????；
a1?pxp当p?1时，? ?? a1dx?1x1?p| ???a1?p．
a1?pp?1xp1?pa因此，当p?1时，广义积分收敛，其值为；当p?1时，广义积分发散． p?15.4.2 无界函数的广义积分
定义5.4 设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且极限limf(x)=?，如果极限
x?a?
b??0?
lim
? a??f(x)dx（0???b?a）存在，那么称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分或
b a（瑕积分），仍然记作?f(x)dx，即
?可简记为
b af(x)dx?lim??0?? b a??f(x)dx?limF(x)??0?ba???F(b)?limF(a??)．
??0?
? b a b af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?limF(x)．
x?a? b a这时也称广义积分?f(x)dx收敛．如果上述极限不存在，那么称广义积分?f(x)dx发散．
类似地，设函数f(x)在区间[a,b)上连续，且极限limf(x)=?，如果极限
x?b?t?0?lim? b?t af(x)dx（0?t?b?a）存在，那么称此极限为函数f(x)在[a,b)上的广义积分，仍
b a然记作?f(x)dx，即
? c b a c b af(x)dx?F(x)|ba?limF(x)?F(a)；
x?b?设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a?c?b)外连续，且极限limf(x)=?．如果两个广
x?c义积分?f(x)dx与?f(x)dx都收敛，那么称广义积分
? b af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?[limF(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]
a c c bx?c?x?c?收敛；否则就称广义积分?f(x)dx发散．
a b如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点，也称为无
界．