第五章机械能及其守恒定律
第一节 功和功率
一．教学目标：
一、功
1．做功的两个必要条件：力和物体在力的方向上发生的位移． 2．公式：W＝Flcos α.适用于恒力做功．其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负判断
夹角 功的正负 0°≤α<90° 力对物体做正功 力对物体做负功，或者说物体 90°<α≤180° 克服这个力做了功 α＝90° 力对物体不做功 特别提示：功是标量，比较做功多少看功的绝对值． 二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢． 3．公式
W
(1)定义式：P＝，P为时间t内的平均功率．
t
(2)推论式：P＝Fvcos_α.(α为F与v的夹角)
4．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．
5．实际功率：机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1－1.(2014·广州模拟)如图所示，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法．如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，那么下列说法正确的是( )
A．轮胎受到地面的摩擦力对轮胎做了负功 B．轮胎受到的重力对轮胎做了正功 C．轮胎受到的拉力对轮胎不做功
D．轮胎受到地面的支持力对轮胎做了正功
1－2.如图所示的a、b、c、d中，质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用，在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移．μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数，乙是随物体甲一起运动的小物块，比较物体甲移动的过程中力F对甲所做的功的大小( )
A．Wa最小 B．Wd最大 C．Wa＞Wc D．四种情况一样大 2．(2012·高考上海卷)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有( )
A．F2＝F1，v1>v2 B．F2＝F1，v1 二．教学重难点 功的计算 1．恒力做的功 直接用W＝Flcos α计算．不论物体做直线运动还是曲线运动，上式均适用． 2．变力做的功 (1)应用动能定理求解． (2)用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变． (3)常用方法还有转换法、微元法、图像法、平均力法等，求解时根据条件灵活选择． 3．合外力做的功 方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．适用于F合为恒力的过程． 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3?，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋?求合外力做的功． 如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小 球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，求此过程中，各力对小球做的功及总功． [思路点拨] W＝F·lcos α可以理解为功等于力与力方向位移的乘积． [解析] 如图，小球在F方向的位移为CB，方向与F同向，则 WF＝F·CB＝F·Lsin θ 小球在重力方向的位移为AC，方向与重力反向，则WG＝mg·AC·cos 180° ＝－mg·L(1－cos θ) 绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则 WFT＝0 故W总＝WF＋WG＋WFT＝F·Lsin θ－mgL(1－cos θ)． [答案] 见解析 [总结提升] (1)在求力做功时，首先要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的功． (2)恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积，或等于位移与在位移方向上的力的乘积． (3)若为变力做功，则要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解． 1.一个质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ，如图所示，则拉力F所做的功为( ) A．mgLcos θ B．mgL(1－cos θ) C．FLsin θ D．FLcos θ 解析：选B.从P缓慢拉到Q，由动能定理得：WF－WG＝0(因为小球缓慢移动，速度可视为零)，即WF＝WG＝mgL(1－cos θ)． 功率的计算 W 1．P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式． t 2．平均功率的计算方法 W (1)利用P＝. t－－ (2)利用P＝F·vcos α，其中v为物体运动的平均速度． 3．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度． (2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度． (3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力． 如图所示，水平传送带正以2 m/s的速度运行，两端水平距离l＝8 m，把一质量 m＝2 kg的一个物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g取10 m/s2，则把这个物块从A端传送到B端的过程中，摩擦力对物块做功的最大功率和平均功率各是多少？ [思路点拨] 计算最大功率和平均功率各用哪个公式？ [解析] 物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做匀加速运动，摩擦力对物块做功，求出物块在摩擦力作用下的位移和运动时间． 物块受向右的摩擦力为 Ff＝μmg＝0.1×2×10 N＝2 N Ff加速度为a＝＝μg＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2 m 当物块与传送带相对静止时的位移为 v222x＝＝m＝2 m＜8 m，所以最大速度vm＝2 m/s 2a2×1 最大功率Pm＝Ffvm＝2×2 W＝4 W 摩擦力做功为W＝Ffx＝2×2 J＝4 J 相对静止后物块与传送带之间无摩擦力，此后物块匀速运动到B端，物块由A端到B端所用的时间为 vl－x28－2t＝＋v＝ s＋ s＝5 s a12 则物块在被传送过程中所受摩擦力的平均功率为 W4 P＝＝W＝0.8 W. t5 [答案] 4 W 0.8 W [名师归纳] 计算功率的基本思路： (1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率，对应于某一过程的功率为平均功率，对应于某一时刻的功率为瞬时功率． (2)求瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度v方向的分力求解． 2．一台起重机从静止开始匀加速地将一质量m＝1.0×103 kg的货物竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s.求起重机在这2 s内的平均输出功率及2 s末的瞬时功率．(g取10 m/s2) v4 解析：货物运动的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2 t2 设起重机吊绳的拉力为F，根据牛顿第二定律，有 F－mg＝ma 所以F＝m(g＋a)＝1.0×103×(10＋2) N＝1.2×104 N 1 货物上升的位移l＝at2＝4 m 2 则拉力做的功W＝F·l＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J W 故2 s内的平均功率P＝＝2.4×104 W t 2 s末的瞬时功率P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W. 答案：2.4×104 W 4.8×104 W 机车启动问题 1．两种启动方式比较 两种方式 以恒定功率启动 P－t图 和v－t图 过程分析 P额?不变?v↑?F＝↓ vF－F阻?a＝↓ m加速度减小的加速直线运动 F＝F阻?a＝0 P额?F阻＝ vm以vm做匀速直线运动 无 F－F阻a＝不变 m?F不变?P＝Fv↑ 直到P额＝Fv1 v1匀加速直线运动，维持时间t0＝ aP额v↑?F＝v↓ F－F阻?a＝↓ m加速度减 小的加速运动 F＝F阻?a＝0 P额?以vm＝做匀速直线运动 F阻PP＝(式FminFf v↑ 以恒定加速度启动 OA段 运动性质 AB段 过程分析 运动性质 BC段 2.三个重要关系式 (1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝ 中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力Ff)． (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最 PP 大，即v＝＜vm＝. FFf (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－Ffx＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小． 电动车因其可靠的安全性能和节能减排的设计理念，越来越受到人们的喜爱，在 检测某款电动车性能的某次实验中，质量为8×102 kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的 1 速度v，并描绘出F－v图像如图所示(图中AB、BO均为直线)．假设电动车行驶中所受的阻力恒定． (1)根据图线ABC，判断该电动车做什么运动，并计算电动车的额定功率； (2)求此过程中电动车做匀加速直线运动的加速度的大小； (3)电动车由静止开始运动，经过多长时间速度达到v1＝2 m/s? [审题突破] (1)BA段表示什么不变？电动车做什么运动？ (2)CB段的斜率表示哪个物理量？是否变化？电动车做什么运动？ [解析] (1)由图像可得，当达到最大速度vmax＝15 m/s时，牵引力为Fmin＝400 N 故恒定阻力Ff＝Fmin＝400 N 额定功率P＝Fminvmax＝6×103 W. (2)匀加速直线运动的加速度 F－Ff2 000－40022a＝＝2 m/s＝2 m/s. m8×10 P (3)匀加速直线运动的末速度vB＝＝3 m/s F 电动车在速度达到3 m/s之前，一直做匀加速直线运动， v1故所求时间为t＝＝1 s. a [答案] (1)AB段表示电动车做匀加速直线运动，BC段表示电动车做加速度逐渐减小的变加速直线运动 6×103 W (2)2 m/s2 (3)1 s [规律总结] 分析机车启动问题时应注意： (1)机车启动的方式不同，机车运动的规律就不同，因此机车启动时，其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律也不相同； (2)恒定功率下的加速一定不是匀加速，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)； (3)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)． 3.(改编题)一遥控玩具汽车在平直的轨道上由静止开始做直线运动，运动过程中汽车牵引力的功率保持不变，其加速度a和速度的倒数的关系图像如图所示，若已知汽车的质量为2 kg，运动2 s后开始匀速运动，汽车所受阻力恒定，那么根据图像数据可判断下列说法正确的是( ) A．玩具汽车的功率为10 W