注意事项 初、末状态必须用同一零势能面计算势能 应用时关键在于分清重力系统减少(或增加)的重力势转化 ΔEk＝ 势能的增加量和减少量，能等于系统增加(或减少)的观点 －ΔEp 可不选零势能面而直接计动能 算初、末状态的势能差 若系统由A、B两物体组成，常用于解决两个或多个物转移 ΔEA增＝ 则A物体机械能的增加量与体组成的系统的机械能守观点 ΔEB减 B物体机械能的减少量相等 恒问题 2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象{单个物体多个物体组成的系统含弹簧的系统 (2)分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件． (3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况． (4)选择合适的表达式列出方程，进行求解． (5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
(2014·泸州模拟)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由
端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9 cm 的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
机械能守恒定律及应用
1．三种守恒表达式的比较 角度 公式 意义 守恒 Ek1＋Ep1 系统的初状态机械能的总和观点 ＝Ek2＋Ep2 与末状态机械能的总和相等
(1)细绳受到的拉力的最大值； (2)D点到水平线AB的高度h； (3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
[审题突破] (1)小球运动到什么位置时，对细绳拉力最大？
(2)小球恰好沿斜面方向压缩弹簧，说明小球的速度沿什么方向？ (3)弹性势能最大时，小球速度为多少？
[解析] (1)小球由C到D，由机械能守恒定律得：
1mgL＝mv2
21
解得v1＝2gL①
在D点，由牛顿第二定律得
v21F－mg＝m②
L
由①②解得F＝30 N
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N. (2)由D到A，小球做平抛运动 v2y＝2gh③
vy
tan 53°＝④
v1
联立③④解得h＝16 cm.
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据得：Ep＝2.9 J.
[答案] (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
(2014·长春调研)如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，
碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2.开始时m1恰在右端碗口水平直径A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．
(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离x；
Rm1(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为，求.
2m2
[审题突破] (1)m1到达B点时，两球速度大小有何关系？ (2)从开始到绳断，两球高度变化各为多少？
[解析] (1)设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时m1、m2的速度大小分别为v1、v2，由运动的合成与分解得v1＝2v2①
对m1、m2系统由机械能守恒定律得
112
m1gR－m2gh＝m1v21＋m2v2② 22
由几何关系得h＝2Rsin 30°③
1
设细绳断后m2沿斜面上升的距离为x′，对m2由机械能守恒定律得m2gx′sin 30°＝
2
2
m2v2－0④
小球m2沿斜面上升的最大距离x＝2R＋x′⑤
2m1－2m2??
联立得x＝?2＋?R.⑥
2m1＋m2??
(2)对小球m1由机械能守恒定律得 1Rm1v21＝m1g·⑦ 22
m122＋1
联立①②③⑦式得＝. m22
22＋12m1－2m2??
[答案] (1)?2＋R (2) ?22m1＋m2??
[规律总结] (1)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便．
(2)对于多个物体组成的系统，注意找物体间的速度关系和高度变化关系．
(3)链条、液柱类不能看做质点的物体，要按重心位置确定高度．
2.如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过
圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep. 解析：(1)由a球恰好能到达A点知
v2A
m1g＝m1 R
对a球由机械能守恒定律有 112m1v2a＝m1vA＋m1g×2R 22
解得va＝5gR.
(2)对b球由机械能守恒定律有 1m2v2b＝m2g×10R 2
解得vb＝20gR.
112
(3)由机械能守恒定律得Ep＝m1va＋m2v2b 22
5?解得Ep＝??2m1＋10m2?gR.
5
m1＋10m2?gR 答案：(1)5gR (2)20gR (3)??2?
三．教学过程
机械能守恒中的轻杆模型
1．模型构建
两个物体分别固定在轻杆两端，该系统即为轻杆模型．若只有重力对系统做功，则系统的机械能守恒．
2．模型特点
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等． (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． (3)对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
[规范解答]————————————该得的分一分不丢！
(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由
机械能守恒定律得
21112mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2(3分)
3322
2gL
解得v＝.(2分)
3
(2)杆对P球做的功等于小球P机械能的增加量ΔE，则
114
ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL.(3分)
329
2gL4
[答案] (1) (2)mgL
39
[建模感悟] 在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
(1)本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒．
3．(原创题)如图所示，一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B，放置于光滑半径为R的半圆轨道中，A球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小．
解析：当杆处于水平状态时，系统重心最低，两球速度最大，A球下降的高度ΔhA＝R·cos 45°，
B球上升的高度ΔhB＝R(1－cos 45°)
由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为v. 由机械能守恒得：
1
mgΔhA＝mgΔhB＋·2mv2
2解得：v＝?2－1?gR. 答案：?2－1?gR
涉及多个原型的动力学和能量的综合问题(二)
[规范解答]————————————该得的分一分不丢！
[解析] (1)设大猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有
1
h1＝gt2①(2分)
2
x1＝vmint②(2分)
联立①、②式，得vmin＝8 m/s.③(1分)
1
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有(M＋m)gh2＝(M
2
2
＋m)vC④(3分)
vC＝2gh2＝80 m/s≈9 m/s.⑤(2分)
(3)设拉力为FT，青藤的长度为L，对最低点，由牛顿第二定律得FT－(M＋m)g＝(M＋2vC
m)⑥(2分) L
2
由几何关系知(L－h2)2＋x22＝L⑦(2分) 得：L＝10 m⑧(1分)
综合⑤、⑥、⑧式并代入数据解得：FT＝216 N．(1分) [答案] (1)8 m/s (2)9 m/s (3)216 N
4．(改编题)2013年11月28日，国际雪联高山滑雪积分赛在张家口崇礼云顶乐园滑雪场开赛，如图所示，运动员从R＝18 m的四分之一圆弧轨道AB段加速，经水平滑道BC，再在C点飞出水平轨道后做出美丽的空中动作，最后落至D点．一滑雪运动员质量m＝60 kg，经过AB段加速滑行后进入BC轨道过程中没有能量损失，BC段运动员的运动时间是0.6 s，运动员滑板与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，求：
(1)若在由圆轨道进入水平轨道之前对B点的压力是体重的2.8倍，则AB段运动员克服