2015年上海各区县中考二模试题及答案
17．对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P＇的坐标为（a?b，ka?b）（其中
kk为常数，且k?0），则称点P＇为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生
4点”为P＇（1+，2?1+4），即P＇（3，6）．若点P的“k属派生点”P?的坐标为（3，
23），请写出一个符合条件的点P的坐标： ▲ . 18．如图，钝角△ABC中，tan∠BAC=
，
3，BC=4，将三角形绕着点 4，
A旋转，点C落在直线AB上的点C处，点B落在点B处，若C、 B、B恰好在一直线上，则AB的长为 ▲ .
（第18题图）
，
三、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．(本题满分10分) 计算：(
12?1)0?75?2cos30??()?1+3?1．
2?xy?320．(本题满分10分) 解方程组：?2 2?x?2xy?y?4?0.
21. (本题满分10分)
如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观察站，A在B的正东方向，A与B相距2千米。有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60?的方向，从B测得小船在北偏东45?的方向。 （1）求点P到海岸线的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间 后到达点C处，此时，从B点测得小船在北偏西15? 的方向。求点C与点B之间的距离。 （注：答案均保留根号）
B （第21题图）
A
P
C
北
东
22．(本题满分10分)
现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务，已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调. 求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.
初三数学基础考试卷—36—
2015年上海各区县中考二模试题及答案
23．(本题满分12分)
已知：如图，Rt△ABC和 Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE =90?，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H。 （1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形。
B A
G
C
（第23题图）
E
M
H
D
24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交与点A，与y轴交与点B，抛物线
y?1(x?m)2?n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C。 2y
（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称 轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。
（第24题图）
O
x
25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分） 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan?ABC?3，点O是AB边上动点，以O为圆 4心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE。
（1） 当AE//BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；
（2） 设BO=x，AE=y，求y关于 x的函数关系式，并写出定义域；
（3） 若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长。
E A A A E O
O
C B B C B D C D
备用图 备用图 图（1）
（第25题图）
初三数学基础考试卷—37—
杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研
数学试卷答案及评分标准 2015.4
四、 选择题（本大题每小题4分，满分24分） 1．C ；2． A；3． B；4． D；5． A；6． C 五、 填空题（本大题每小题4分，满分48分）
六、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．解：原式=1?5 =2-3115；9． x=3；10． m?0；11．右，2；12． ；13．
64261110 14． a+b；15． 13+2；16． 15；17．（1,2）等；18． 5227． x(y+2）；8． (y-2）x?3?2?3?2+3?1---------------------------------------------------(8分) 223-----------------------------------------------------------------------------------(2分)
?4-----------------------------------------------(2分)
20．解：由(2)变形得（x?y)由此,得:x-y?2或x-y??2-------------------------------------------------------(2分)
?xy?3?xy?3或?---------------------------------------(2分)
x-y=2.x-y=-2.???x1=3?x2=-1?x3=1?x4=-3解得：?-----------------------------------------(4分) ,?,?,??y1=1?y2=-3?y3=3?y4=-1?x1=3?x2=-1?x3=1?x4=-3原方程组的解为? ,?,?,?y=1y=-3y=3y=-1?1?2?4?3∴原方程组转化为?21.解：（1）作PD⊥AB于点D，设PD=x，
由题意可知∠PBA=45?，∠PAB=30?，-------------------------------------------------------（1分）
3x，--------------------------------------------------------------------------------（1分）
∵AB=2，∴x?3x?2,--------------------------------------------------------------------------（1分）
2?3?1,------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴x?3?1∴点P到直线AB的距离是3?1千米。--------------------------------------------------------（1分） （2）过点B作BF⊥AC于点F，由题意得∠PBC=60?，∠CPB=30?+45?=75?，---（1分） ∴∠C=45?，--------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 在Rt△ABF中，∠PAB=30?，AB=2，∴BF=1，------------------------------------------------（1分） ∴BC=2-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴点B与点C之间的距离为2千米。-----------------------------------------------------------（1分）
∴BD=x，AD=
22．解：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装(x+2)台空调，-------（1分）
根据题意得：
8066??1，----------------------------------------------------------------------（3分） xx?22整理得：x?12x?160?0，-----------------------------------------------------------------------（1分） 解方程得： x1=20，x2??8 ， ------------------------------------------------------------------（2分） 经检验x1=20 是方程的解，并且符合实际. -----------------------------------------------------（1分）
x+2=22 ， ---------------------------------------------------------------------------------------------（1分）
答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调. ---------------------（1分） 23．
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证明：（1）方法一：取BD中点P，联结MP，------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC=∠CDE =90?，∴∠ABC+∠CDE =180?，∴AB//ED，-------------------------（1分） ∵点M为AE中点，点P为BD中点，∴MP//AB，-------------------------------------------（1分） ∴∠MPD=∠ABC=90?，即MP⊥BD，∴MP为线段BD的垂直平分线，--------------（1分） ∴MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC=∠CDE =90?，∴∠ABC+∠CDE =180?，∴AB//ED， ∴∠ABM=∠MTE，
又∵∠AMB=∠EMT，点M为AE中点，∴△AMB≌△EMT，---------------------------------（1分） ∴BM=TM，------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵∠CDE =90?，∴ED⊥BD，∴DM=
∴DM=BM。---------------------------------------------------------------------------------------------（1分） （2）方法一：取BD中点P，联结MP，∴BP=∵AB//ED，点M为AE中点，∴MP =
1BT，--------------------------------------------------（1分） 211BC=（BC+CD）， 22∵AB=BC，DC=DE，∴BP= MP，-----------------------------------------------------------------（2分）
∵MP⊥BD，∴∠MBP =45?，--------------------------------------------------------------------（1分） 又∵DC=DE，∠CDE =90?，∴∠ECD=45?，∴BM//CE
同理DM//AC，∴四边形MGCH为平行四边形，-----------------------------------------------（2分） ∵AB=BC，∠ABC=90?，∴∠ACB=45?，同理∠ECD=45?，∴∠ACE=90?，-----（1分） ∴四边形MGCH为矩形--------------------------------------------------------------------------------（1分） 方法二：延长BM，与DE的延长线交于点T，
∵△AMB≌△EMT，∴AB=ET，∵AB=BC，∴BC= TE，----------------------------------------（1分）
1（AB+DE）， 2BCTE?，∴CE//BT-------------------------------------------------------------（1分） DCDE∴∠BMD+∠MHC=180?，
∵DC=DE，∴
∵BC= TE，DC=DE，∴BC+DC=TE+DE，即BD=TD，
∵BM=TM，∴DM⊥BT，即∠BMD=90?，----------------------------------------------------（2分） ∴∠MHC=90?，---------------------------------------------------------------------------------------（1分） 又∵AB=BC，∠ABC=90?，∴∠ACB=45?，同理∠ECD=45?，∴∠ACE=90?，--（1分） ∴四边形MGCH为矩形-------------------------------------------------------------------------------（1分） 24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，) 解：（1）∵直线y=x+1与y轴交与点B，∴B（0,1）-----------------------------------(1分)
1(x?m)2?n的顶点D（m,n）, ∵D在直线y=x+1上，∴n=m+1， 212∴抛物线与y轴的交点C（0，m?m?1），-----------------------------------------(1分)
212∵点C与点B重合，∴m?m?1=1，解之得m1?0,m2??2，
2∵点C不是顶点，∴m??2，--------------------------------------------------------------(1分)
12∴抛物线的表达式是y?(x+2)?1。---------------------------------------------------(1分)
2y?作DH⊥BC于H，∴CH=BH，--------------------------------------------------------------(1分)
（2）∵直线y=x+1与x轴交与点A，与y轴交与点B，∴A（-1,0），B（0,1），∴∠ABO=45?， ∵CD⊥AB，∴∠CBD=∠BCD =45?，∴CD=BD，
12m?m?1）∴H（0, m?1）， 212∴m?m?1?(m?1)?m?1?1，解得m1?0,m2?2， 2∵D（m,m+1），C（0,
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∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴m?2，--------------------------------------------(1分) ∴C（0, 5），D（2，3），∴CD=22，AD=32，
CD2?.-----------------------------------------------------(2分) AD3（3）∵A（-1,0），B（0,1），∴∠ABO=45?，∴∠ABC=135?，
又A（-1,0），D（2，3），∴∠ADP=45?，∵CD⊥AB，∴∠CDP=135?，∴∠CDP=∠ABC, ∵∠DCP=∠CAD，∴?ABC∽?CDP，--------------------------------------------------(2分) BCDP4DP?∴，即，∴DP=8，-------------------------------------------------(1分) ?BADC222∵CD⊥AB，∴tan?CAD?∴P（2，-5）-----------------------------------------------------------------------------------------(1分) 25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第（3）小题4分）
解：（1）∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴BE=BD，∴∠EBA=∠DBA， ∵AE//BC，∴∠EAB=∠DBA，∴∠EAB=∠EBA，∴BE=AE，∴BD= AE， 又∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴AC//DE，∴AEDC为平行四边形，
∴AE= DC，∴BD=DC=5，---------------------------------------------------------------------------（2分） 作OH⊥BC于M，则BH=DH=即⊙O的半径长是
32515BD=，∵tan?ABC?，∴BO=，----------（2分） 228425。 8（2）联结AD，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴AB是DE的中垂线，∴AD=AE=y， 作OH⊥BC于H，则BH=DH，
348，∴BH=x，∴BD=x，-----------------（1分）
5543232824?x，------------------------（1分） 作AM⊥BC于M，则得AM=，BM=，∴DM=
555524232822222?x)，-----------------（1分） 在Rt△ADM中，AD?AM?DM，即y?()?(5558225x?8x?25（0?x?∴y=）----------------------------------------------------（2分，1分） 54在Rt△BOH中，∵BO=x，tan?ABC?（3） 设DE、AB交于点P，则DP=EP，
方法一、情况1：D与C不重合
18， 514342841814?=，∴DE=。---------------（2分） ∴BD=10-23=，∴DP=BD?sin∠ABC=
25555525∵⊙A过点D、C，∴AD=AC，作AK⊥BC于K，则DK=CK=
情况2：D点与C点重合时，E、A、C三点共线，DE=2AC=12. ----------------（2分）
∴DE的长为12或
84。 253544，∴BD=x，BP=x，∴AP=8-x，
33342方法二、设DP=x，∵tan?ABC?222联结EA，∵⊙A过点D、E、C，∴ AE=AC=6， 在Rt△AEP中，AE?EP?AP，整理得25x?192x?252?0，------------------（1分）
4284解得x1?6,x2?，----------（1分）经检验，都符合题意。∴DE的长为12或。---（2分）
2525
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