∵ ∠AEO=∠ACB=90°，∴ OF∥BC.∴ . ∴ .∴ . ∵ AB=4，∴ AO=2 .∴ AF=1 .∴ CF=1 . 例5：（2012中考20）已知：如图，，过点作（1）求证：的切线，交与相切； 是的直径，是上一点，． 于点 的延长线于点，连结（2）连结 并延长交于点，若， 求的长． 答案：证明：连结 . 与⊙相切，为切点. 直线 是线段的垂直平分线. （2）解：过点作 是⊙的直径. 与⊙相切. 于点，则∥.
在中， 由勾股定理得 在中，同理得 是的中点， ∥， 例6：（2013西城一模22）22．先阅读材料，再解答问题： 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中， 同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均 为⊙O上的点，则有∠C=∠D． 小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧， 则有∠D>∠E． 请你参考小明得出的结论，解答下列问题： (1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)， 点C的坐标为(3,0) ． ①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）； ②若在轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为 ； (2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)， 其中m>n>0．点P为轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出
此时点P的坐标． 答案：（1）①如图5； ②点D的坐标为 （2）点P的坐标为 例7：（2012中考25）在平面直角坐标系“非常距离”，给出如下定义： 若 若 例如：点为直线，则点与点，则点与点，点的“非常距离”为的“非常距离”为； . 的“非常距离”中，对于任意两点与的． ； ，因为与线段，所以点与点，也就是图1中线段与垂直于轴的直线长度的较大值（点为垂直于轴的的交点）。 （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
（2）已知是直线上的一个动点， 的“非常距离”的最小值及 ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点相应的点的坐标； ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离” 的最小值及相应的点和点的坐标。
答案：（1）①点的坐标是（0，2）或（0，-2）；（写出一个答案即可） ②点与点的“非常距离”的最小值是（2）①过点作轴的垂线，过点 如图1，当点在点. ，连结. 的“非作的垂线，两条垂线交于点的左上方且使是等腰直角三角形时，点与点常距离”最小. 理由如下： 记此时 所在位置的坐标为 当点的横坐标大于是线 段与线段时，线段. 的长度变大，由于点与点的“非常距离”长度的较大值，所以点与点的长度变大，点与点的“非常距离”变大；当点的横坐标小于时，线段的 “非常距离”变大. 所以当点的横坐标等于时，点与点的“非常距离”最小. 解得. 点的坐标是. 当点的坐标是时，点与点的“非常距离”最小，最小值是. ②如图2，对于⊙上的每一个给定的点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，连结. 由①可知，当点运动到点的左上方且使是等腰