第五章 线性微分方程组
[教学目标]
1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解
的性质与结构，
2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，
4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时
[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标]
1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理
5.1.1记号和定义 考察形如
??a11(t)x1?a12(t)x2???a1n(t)xn?f1(t)?x1?x??a(t)x?a(t)x???a(t)x?f(t)?22112222nn2 ??????????an1(t)x1?an2(t)x2???ann(t)xn?fn(t)?xn（5.1）
的一阶线性微分方程组，其中已知函数aij(t)(i,j?1,2,?,n)和fi(t)(i?1,2,?,n)在区
?,x2?,?,xn?是线性的. 间a?t?b上上是连续的。方程组（5.1）关于x1,x2,?,xn及x1引进下面的记号：
?a11(t)a12(t)?a(t)a(t)22A(t)??21?????an1(t)an2(t)?a1n(t)??a2n(t)?? （5.2） ?????ann(t)?这里A(t)是n?n矩阵，它的元素是n2个函数aij(t)(i,j?1,2,?,n).
?f1(t)??x1??x1???f(t)??x??x??22? x??? x???2? （5.3） f(t)????????????????????fn(t)??xn??xn这里f(t)，x，x?是n?1矩阵或n维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式
x??A(t)x?f(t) （5.4）
引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间a?t?b上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a?t?b上的连续函数。
一个n?n矩阵B(t)或者一个n维列向量u(t)：
?b11(t)b12(t)?b(t)b(t)22B(t)??21?????bn1(t)bn2(t)?b1n(t)??u1(t)??u(t)??b2n(t)?? u(t)??2? ??????????bnn(t)?u(t)?n?在区间a?t?b上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a?t?b上可微。它们的导数分别由下式给出：
?(t)b12?(t)?b11?b?(t)b?(t)22B?(t)??21?????1(t)bn?2(t)?bn?(t)??b1?n(t)??u1?u?(t)??n(t)??b2? u?(t)??2?
??????????(t)???bnnu(t)?n?不难证明，如果n?n矩阵A(t)，B(t)及n维向量u(t)，v(t)是可微的，那么下列等式成立：
（Ⅰ）?A(t)?B(t)???A(t)??B(t)?
?u(t)?v(t)???u(t)??v(t)?
（Ⅱ）?A(t)?B(t)???A(t)?B(t)?A(t)B(t)? （Ⅲ）?A(t)u(t)???A(t)?u(t)?A(t)u(t)?
类似地，矩阵B(t)或者向量u(t)在区间a?t?b上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间a?t?b上可积。它们的积分分别由下式给出：
?bb(t)dt??a11?bb??ab11(t)dtB(t)dt??a????bb(t)dt???a11b1n(t)dt?aa?bb?b(t)dt?b(t)dt?a22?a2n?
?????bb?b(t)dt?b(t)dt?an2?ann???bu(t)dt???a1??b?bu(t)dt??a2? u(t)dt??a??????b?u(t)dt??an????bb12(t)dt??b现在我们给出（5.4）的解的定义：
定义１设A(t)是区间a?t?b上的连续n?n矩阵，f(t)是同一区间a?t?b上的连续n维向量。方程组
x??A(t)x?f(t) （5.4）
在某区间??t??（这里??,????a,b?）的解就是向量u(t)，它的导数u?(t)在区间
??t??上连续且满足
u?(t)?A(t)u(t)?f(t)，??t??
现在考虑带有初始条件x(t0)??的方程组（５.４），这里t0是区间a?t?b上的已知数，?是n维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。 定义2 初值问题
x??A(t)x?f(t),x(t0)?? （5.5）
的解就是方程组（5.4）在包含t0的区间??t??上的解u(t)，使得u(t0)??。 例2 验证向量
?e?t?u(t)???t?
??e?是初值问题
?01??1??x???x,x(0)???1?
10????在区间???t???上的解。 解 显然
?e?0??1?u(0)???0????
??e???1?因为e?t和?e?t处处有连续导数，我们得到
??e?t??01??e?t??01?u?(t)???t??????t???10?u(t) 10???e????e??因此u(t)是给定初值问题的解。
正如在第而章所看到的，当n?1时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当n?2时，情况就复杂多了。
在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。
考虑n阶线性微分方程的初值问题
(n)(n?1)????an?1(t)x??an(t)x?f(t)?x?a1(t)x ?(n?1)??x(t0)??1,x?(t0)??2,?,x(t0)??n（5.6）
其中a1(t),a2(t),?,an(t)，f(t)是区间a?t?b上的已知连续函数，t0??a,b?，
?1,?2,?,?n是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题
?10?0??001???x????????00??0?????an(t)?an?1(t)?an?2(t)???1??????2?x(t0)??????????????n??(5.7) 其中
?????0??0??0?0??????x??0????1???????a1(t)??f(t)??
?x1??x1???x??x??2x??? x???2?
????????????x?n??xn事实上，令
x1?x,x2?x?,x3?x??,?,xn?x(n?1)
这时
??x??x2 x1??x???x3 x2????
??1?x(n?1)?xn xn??x(n)??an(t)x1?an?1(t)x2???a1(t)xn?f(t) xn而且