的满足初始条件
?(t0)?0,??(t0)?0,?,?(n?1)(t0)?0 t0??a,b?
的解由下面公式给出
?(t)??xk(t)??tk?1nt?Wk?x1(s),x2(s),?,xn(s)?????f(s)ds
0Wx(s),x(s),?,x(s)???2n??1?(5.29)
这里W?x1(s),x2(s),?,xn(s)?是x1(s),x2(s),?,xn(s)的伏朗斯基行列式，
Wk?x1(s),x2(s),?,xn(s)?是在W?x1(s),x2(s),?,xn(s)?中的第k列代以(0,0,?,0,1)T后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式
u(t)?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)??(t) （5.30）
这里c1,c2,?,cn是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
这时方程（5.28）的通解可以表为x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)??(t) 其中c1,c2,?,cn是任意常数。并且由推论3知道，它包括了方程（5.28）的所有解。这就是第四章定理7的结论。 当n?2时，公式（5.29）就是
?t??W1?x1(s),x2(s)????W2?x1(s),x2(s)????(t)?x1(t)??f(s)ds?x2(t)????f(s)ds但t0Wx(s),x(s)t0Wx(s),x(s)????????1212????t是
W1?x1(s),x2(s)??W2?x1(s),x2(s)??0x2(s)??x2(s) ?1x2(s)x1(s)0?x1(s)
?(s)1x1因此，当n?2时，常数变易公式变为
?(t)???t而通解就是
t??x2(t),x1(s)?x1(t),x2(s)???f(s)ds （5.31）
0W?x1(s),x2(s)?????x?c1x1(t)?c2x2(t)??(t) （5.32）
这里c1,c2是任意常数. 例3 试求方程
x???x??tgt
的一个解。
解 易知对应的齐线性方程 x???x??0的基本解组为x1(t)?cost，x2(t)?sint。直接利用公式（5.31）来求方程的一个解。这时
W?x1(t),x2(t)??costsint?1
?sintcost由公式（5.31）即得（取t0?0）
?(t)??(sintcoss?costsins)tgsds0t?sint?sinsds?cost?sinstgsds00tt
?sint(1?cost)?cost(sint?lnsect?tgt)?sint?costlnsect?tgt注意，因为sint是对应的齐线性方程的一个解，所以函数
?(t)??costlnsect?tgt
也是原方程的一个解。
§5.3 常系数线性微分方程组
本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组
x??Ax （5.33）
的基解矩阵的结构，这里A是n?n常数矩阵。我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。
5.3.1 矩阵指数expA的定义和性质
为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数expA（或写作eA），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。
如果A是一个n?n常数矩阵，我们定义矩阵指数expA为下面的矩阵级数的和
AkAA2AmexpA??e?E?A?????? （5.34）
2!m!k?0k!?其中E为n阶单位矩阵，Am是矩阵A的m次幂。这里我们规定A0?E，0!?1。这个级数对于所有的A都是收敛的，因而，expA是一个确定的矩阵。 事实上，由5.1.2中的性质1?，易知对于一切正整数k，有
AAk? k!k!又因对于任一矩阵A，A是一个确定的实数，所以数值级数
kAAmE?A????A??
2!m!是收敛的（注意，它的和是n?1?e）。由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一
A2项的范数都小于一个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵A都是绝对收敛的。
级数
Aktk expAt?? （5.35）
k!k?0?在t的任何有限区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数k，当t?c（c是某一正常数）时，有
AtAckAktk?? k!k!k!而数值级数
kkk?k?0??Ac?k!k是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。
矩阵指数expA有如下性质：
1? 如果矩阵A，B是可交换的，即AB?BA，则
exp(A?B)?expA?expB （5.36）
事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数
运算的一些定理，如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。由二项式定理及AB?BA，得
exp(A?B)??k?0??A?B?k!k?kAtBk?t????? （5.37） ?k?0?l?0l!(k?l)!??另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得
Ai??Bj?expA?expB?????i?0i!?j?0j!????AB?????k?0?l?0l!(k?l)!??ktk?t （5.38）
比较（5.37）和（5.38），推得（5.36）. 2? 对于任何矩阵A，(expA)?1存在，且
(expA)?1?exp(?A) （5.39） 事实上，A与?A是可交换的，故在（5.36）中，令B??A， 我们推得
expAexp(?A)?exp(A?(?A))?exp0?E
由此即有
(expA)?1?exp(?A)
3? 如果T是非奇异矩阵，则
exp(T?1AT)?T?1(expA)T （5.40）
事实上
(T?1AT)kexp(TAT)?E??k!k?1?1?T?1AkT?E??k!k?0?
??Ak??1?E?T???T?T(expA)T?k?1k!??1 定理9 矩阵
?(t)?expAt （5.41）
是（5.33）的基解矩阵，且?(0)?E.
证明 由定义易知?(0)?E，微分（5.41），我们得到
A2tA3t2Aktk?1??(t)?(expAt)??A????????AexpAt?A?(t)
1!2!(k?1)!这就表明，?(t)是（5.33）的解矩阵，又因为det?(0)?detE?1，因此，?(t)是（5.33）的基解矩阵。证毕。
由定理9，我们可以利用这个基解矩阵推知（5.33）的任一解?(t)都具有形式
?(t)?(expAt)c （5.42）
这里c是一个常数向量。
在某些特殊情况下，容易得到（5.33）的基解矩阵expAt的具体形式。
?a1?0例1 如果A是一个对角形矩阵，A??????0零），试找出x??Ax的基解矩阵。
解 由（5.34）可得
0a2?00??0??（非主对角线上的元素都是?????an???a10?0a2expAt?E???????00
?ea1t0?a2t0e??????0?00??0??????eant????0??a120?2?0?0at2??????1!??????an???00?a1k00???k?0?t20a2??????????2!?2??an????00?0???0?tk???k!??k??an?? ?根据定理9，这就是一个基解矩阵，当然，这个结果是很明显的，因为在现在的
??akxk，k?1,2,?,n，它可以分别进行积分。 情况下，方程组可以写成xk例2 试求x????21?x的基解矩阵。 ??02??21??20??01?解 因为A?????02???00?，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到
02??????