的基解矩阵。
解首先，我们证明?(t)是解矩阵。令?1(t)表示?(t)的第一列，这时
?et??11??et??11??1?(t)??????????01??1(t)
01??0????0??这表示?1(t)是一个解。同样，如果以?2(t)表示?(t)的第二列，我们有
?(t?1)et??11??tet??11??(t)???2?2(t) ?t????????t?e??01??e??01?这表示?2(t)也是一个解。因此，?(t)???1(t),?2(t)?是解矩阵。
其次，根据定理2*，因为det?(t)?e2t?0，所以?(t)是基解矩阵。
推论1* 如果?(t)是（5.15）在区间a?t?b上的基解矩阵，C是非奇异n?n常数矩阵，那么，?(t)C也是（5.15）在区间a?t?b上的基解矩阵。
证明 首先，根据解矩阵的定义易知，方程（5.15）的任一解矩阵X(t)必满足关系
X?(t)?A(t)X(t)，（a?t?b）
反之亦然。现令
?(t)??(t)C，（a?t?b）
微分上式，并注意到?(t)为方程的基解矩阵，C为常数矩阵，得到
??(t)???(t)C?A(t)?(t)C?A(t)?(t)
即?(t)是（5.15）的解矩阵。又由C的非奇异性，我们有
det?(t)?det?(t)?detC?0（a?t?b）
因此由定理2*知，?(t)即?(t)C是（5.15）的基解矩阵。
推论2* 如果?(t)，?(t)在区间a?t?b上是x??A(t)x的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n?n常数矩阵C，使得在区间a?t?b上?(t)??(t)C。 证明 因为?(t)为基解矩阵，故其逆矩阵??1(t)一定存在。现令
??1(t)?(t)?X(t) （a?t?b）
或
?(t)??(t)X(t) （a?t?b）
易知X(t)是n?n可微矩阵，且
detX(t)?0 （a?t?b）
于是
A(t)?(t)???(t)???(t)X(t)??(t)X?(t) （a?t?b）
???A(t)?(t)X(t)??(t)X(t)?A(t)?(t)??(t)X(t)由此推知?(t)X?(t)?0，或X?(t)?0（a?t?b），即X(t)为常数矩阵，记为C。因此我们有
?(t)??(t)C （a?t?b）
其中C???1(a)?(a)为非奇异的n?n常数矩阵推论2*得证。 5.2.2 非齐线性微分方程组 本段讨论非齐线性微分方程组
x??A(t)x?f(t) （5.14）
的解的结构问题，这里A(t)是区间a?t?b上的已知n?n连续矩阵，f(t)是区间
a?t?b上的已知n维连续列向量，向量f(t)通常称为强迫项，因为如果（5.14）描
述一个力学系统，f(t)就代表外力。 容易验证（5.14）的两个简单性质：
性质1 如果?(t)是（5.14）的解，?(t)是（5.14）对应的齐线性方程组（5.15）的解，则?(t)??(t)是（5.14）的解。
?(t)和?(t)是（5.14）的两个解，则??(t)??(t)是（5.15）的解。 性质2 如果? 下面的定理7给出（5.14）的解的结构。
定理7 设?(t)是（5.15）的基解矩阵，?(t)是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解?(t)都可表为
?(t)??(t)c??(t) （5.23）
这里c是确定的常数列向量。
?(t)??(t)是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到 证明 由性质2我们知道??(t)??(t)??(t)c
这里c是确定的常数列向量，由此即得
?(t)??(t)c??(t)
定理证毕。
定理7告诉我们，为了寻求（5.15）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐线性方程组（5.15）的基解矩阵。在知道（5.15）的基解矩阵?(t)的情况下，寻求（5.14）的解?(t)的简单的方法 常数变易法。
由定理1*可知,如果c是常数列向量，则?(t)??(t)c是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解。因此，将c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
?(t)??(t)c(t) （5.24）
的解。这里c(t)是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到
??(t)c(t)??(t)c?(t)?A(t)?(t)c(t)?f(t)
因为?(t)是（5.15）的基解矩阵，所以??(t)?A(t)?(t)，由此上式中含有
A(t)?(t)c(t)的项消去了。因而c(t)必须满足关系式
?(t)c?(t)?f(t) （5.25）
因为在区间a?t?b上?(t)是非奇异的，所以??1(t)存在。用??1(t)左乘（5.25）两边，得到
c(t)????1(s)f(s)ds，t0,t??a,b?
tt0其中c(t0)?0。这样，（5.24）变为
?(t)??(t)???1(s)f(s)ds，t0,t??a,b? （5.26）
tt0因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解?(t)，则?(t)由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数?(t)必定是（5.14）的解。事实上，微分（5.26）得到
??(t)???(t)???1(s)f(s)ds??(t)??1(t)f(t)t0t?A(t)?(t)??(s)f(s)ds?f(t)t0t
?1再利用公式（5.26），即得
??(t)?A(t)?(t)?f(t)
显然，还有?(t0)?0，这样一来，我们就得到了下面的定理8。 定理8 如果?(t)是（5.15）的基解矩阵，则向量函数
?(t)??(t)???1(s)f(s)ds
t0t是（5.14）的解，且满足初始条件
?(t0)?0
由定理7和定理8容易看出（5.14）的满足初始条件
?(t0)??
的解?(t)由下面公式给出
?(t)??(t)?(t0)???(t)???1(s)f(s)ds （5.27）
?1t0t这里?h(t)??(t)??1(t0)?是（5.15）的满足初始条件
?h(t0)??
的解。公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。 第五章
?e?t??x1??11???1?x?x?例2 x??? x(0)?????????01??x2??0??1??et解 在例1中我们已经知道?(t)???0tet?? et?是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵?(t)的逆，我们得到：
?es?0??1?(t)?ses??es??1?s??s??e ?2se?01?这样，由定理8，满足初始条件
?0??(0)???
?0?的解就是
?et?(t)???0?e???0t?ettet?t?s?1?s??e?s?e????ds??t??001e????0??0?1??1?tet??(1?e?2t)??(et?e?t)??22t?????e?00????tet?t?e?2s??dst??0?e??0?
因为?(0)?E，对应的齐线性方程组满足初始条件
?h(0)???
1??的解就是
??1???1??(t?1)et??h(t)??(t)????t?
?1??e?由公式（5.27），所求解就是
1?1????(t?1)et??(et?e?t)??tet?(et?e?t)??(t)??h(t)??(t)??t??2? 2????e??0et????注意到5.1.1关于n阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）等价性的讨论，我们可以得到关于n阶非齐线性微分方程的常数变易公式。 推论3 如果a1(t),a2(t),?,an(t)，f(t)是区间a?t?b上的连续函数，
x1(t),x2(t),?,xn(t)是区间a?t?b上齐线性方程
x(n)?a1(t)x(n?1)???an(t)x?0 （5.21）
的基本解组，那么，非齐线性方程
x(n)?a1(t)x(n?1)???an(t)x?f(t) （5.28）