x(t0)1?x(t0)??1,x(t0)2?x?(t0)??2,?,xn(t0)?x(n?1)(t0)??n
现在假设?(t)是在包含t0的区间a?t?b上（5.6）的任一解。由此，得知
?(t),??(t),?,?(n)(t)在a?t?b上存在、连续、满足方程（5.6）且?(t0)??1,??(t0)??2,?,?(n?1)(t0)??n。令
??1(t)???(t)??(t)??2?
??????(t)?n?其中?1(t)??(t),?2(t)???(t),?,?n(t)??(n?1)(t)(a?t?b)，那么，显然有
?(t0)??。此外，
?2(t)??1?(t)????(t)??????(t)?????(t)????(t)23?????????(t)??????????????(n?1)?????(t)?(t)?(t)n?1n??????(n?1)(n)??????(t)???(t)???a1(t)?(t)?an(t)?(t)?f(t)???n??2(t)10?0???1(t)??0????0???0???(t)??0??(t)01?03?????2???????????????????????????????(t)00?01?(t)0nn?1??????????f(t)????an(t)?1(t)???a1(t)?n(t)?f(t)?????an(t)?an?1(t)??a2(t)?a1(t)?????n(t)???
这就表示这个特定的向量?(t)是（5.7）的解。反之，假设向量u(t)是在包含t0的区间a?t?b上（5.7）的解。令
?u1(t)??u(t)?u(t)??2?
?????u(t)?n??(t)?u2(t)，由并定义函数w(t)?u1(t)，由（5.7）的第一个方程，我们得到w?(t)?u1?(t)?u3(t),?，由第n?1个方程得到第二个方程得到w??(t)?u2??1(t)?un(t)，由第n个方程得到 w(n?1)(t)?un?(t)??an(t)u1(t)?an?1(t)u2(t)???a2(t)un?1(t)?a1(t)un(t)?f(t)w(n)(t)?un??a1(t)w由此即得
(n?1)(t)?a2(t)w(n?2)(t)???an(t)w(t)?f(t)
w(n)(t)?a1(t)w(n?1)(t)?a2(t)w(n?2)(t)???an(t)w(t)?f(t)
同时，我们也得到
w(t0)?u1(t0)??1,?,w(n?1)(t0)?un(t0)??n
这就是说，w(t)是（5.6）的一个解。
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是：每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组
?x1??01?x????x，x??x?
10?2???不能化为一个二阶微分方程。 5.1.2 存在唯一性定理 本节我们研究初值问题
x??A(t)x?f(t)，x(t0)?? （5.5） 的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。
?x1??x??2?，我们定义它的范数为 ?x?a对于n?n矩阵A??和维向量n?ij?n?n??????xn?A?i,j?1?anij
x??xi
i?1n设A,B是n?n矩阵，x，y是n维向量，这时容易验证下面两个性质： １）AB?A?B
Ax?A?x x?y?x?y
２）A?B?A?B
?x1k??x?2k向量序列?xk?，xk???，称为收敛的，如果对每一个i(i?1,2,?,n)数列?xik???????xnk?都是收敛的。
?x1k(t)??x(t)?2k?称为在区间a?t?b上收敛的（一致收敛向量函数序列?xk(t)?，xk(t)????????xnk(t)?的），如果对于每一个i(i?1,2,?,n)函数序列?xik(t)?在区间a?t?b上是收敛的
（一致收敛的），易知，区间a?t?b上的连续向量函数序列?xk(t)?的一致收敛极限向量函数仍是连续的。
向量函数级数
?x(t)称为在区间a?t?b上是收敛的（一致收敛的），如果其部
kk?1?分和作成的向量函数序列在区间a?t?b上是收敛的（一致收敛的）。
判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果
xk(t)?Mk，a?t?b
而级数
?Mk?1?k是收敛的，则
?x(t)在区间a?t?b上是一致收敛的。
kk?1?积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列
?xk(t)?在区间a?t?b上是一致收敛的，则
lim?xk(t)dt??limxk(t)dt
k??aak??bb注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。
(k)a例如，n?n矩阵序列?Ak?，其中Ak???ij??n?n称为收敛的，如果对于一切(k)i,j?1,2,?,n，数列?aij?都是收敛的。
无穷矩阵级数
?Ak?1?k?A1?A2???Ak??
称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。
如果对于每一个整数k，
Ak?Mk
而数值级数
?Mk?1?k是收敛的，则
?Ak?1?k也是收敛的。
?同样，可以给出无穷矩阵函数级数
?A(t)的一致收敛性的定义和有关结果。
kk?1定理１（存在唯一性定理）如果A(t)是n?n矩阵。f(t)是n维列向量，它们都在区间
a?t?b上连续，则对于区间a?t?b上的任何数t0及任一常数向量
??1???????2?
???????n?方程组
x??A(t)x?f(t) （5.4）
存在唯一解?(t)，定义于整个区间a?t?b上，且满足初始条件
?(t0)??。
类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.
命题１ 设?(t)是方程组（５.４）的定义与区间a?t?b上且满足初始条件?(t0)??的解，则?(t)是积分方程
x(t)?????A(s)x(s)?f(s)?ds，a?t?b
t0t（5.8）
的定义于a?t?b上的连续解，反之亦然。
证明完全类似于第三章，兹不累赘。
现在取?0(t)??，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下：
??0(t)???t??(t)????k?t0?A(s)?k?1(s)?f(s)?ds,a?t?b ???k?1,2,?向量函数?k(t)称为（5.4）的第k次近似解。应用数学归纳法立刻推得命题２： 命题２ 对于所有的正整数k，向量函数?k(t)在区间a?t?b上有定义且连续。 命题３ 向量函数序列??k(t)?在区间a?t?b上是一致收敛的。 命题４ ?(t)是积分方程（5.8）的定义在区间a?t?b上的连续解。
命题５ 设?(t)是积分方程（5.8）的定义于a?t?b上的一个连续解，则?(t)??(t)（a?t?b）。
综合命题１—５，即得到存在唯一性定理的证明。
值得指出的是，关于线性微分方程组的解?(t)的定义区间是系数矩阵A(t)和非
齐次项f(t)在其上连续的整个区间a?t?b。在构造逐步逼近函数序列??k(t)?时，的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在较大的区间。
?k(t)的定义区间已经是整个a?t?b，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于t0注意到5.1.1中关于n阶线性方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于n阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。
推论（即第四章的定理１）如果a1(t),?,an(t)，f(t)都是区间a?t?b上的连续函数，则对于区间a?t?b上的任何数t0及任何的?1,?2,?,?n，方程
x(n)?a1(t)x(n?1)???an?1(t)x??an(t)x?f(t)
存在唯一解w(t)，定义于整个区间a?t?b上且满足初始条件：
w(t0)??1,w?(t0)??2,?,w(n?1)(t0)??n。
§5.２ 线性微分方程组的一般理论
现在讨论线性微分方程组
x??A(t)x?f(t) （5.14）