?20??01?expAt?exp??t?exp?00?t02?????e???0但是，
2t2?0???01??01?t2??E?t???????00??00?2!e2t?????????
?01??00??00???00? ????所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是
2?1t?expAt?e2t??
01??5.3.2 基解矩阵的计算公式
定理9告诉我们，（5.33）的基解矩阵就是矩阵expAt.但是expAt是一个矩阵级数，这个矩阵的每一个元素是什么呢？事实上还没有具体给出，上面只就一些很特殊的情况，计算了expAt的元素。本段利用线性代数的基本知识，仔细地讨论expAt的计算方法，从而解决常系数线性微分方程组的基解矩阵的结构问题。
为了计算（5.33）的基解矩阵expAt，我们需要引进矩阵的特征值和特征向量的概念。
类似于第四章的4.2.2，试图寻求
x??Ax （5.33）
的形如
?(t)?e?tc，c?0 （5.43）
的解，其中常数?和向量c是待定的。为此，将（5.43）代入（5.33），得到
?e?tc?Ae?tc
因为e?t?0，上式变为
(?E?A)c?0 （5.44）
这就表示，e?tc是（5.33）的解的充要条件是常数?和向量c满足方程（5.44）。方程（5.44）可以看作是向量c的n个分量的一个齐次线性代数方程组，根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是?满足方程
det(?E?A)?0
这就引出下面的定义：
假设A是一个n?n常数矩阵，使得关于u的线性代数方程组
(?E?A)u?0 （5.45）
具有非零解的常数?称为A的一个特征值。（5.45）的对应于任一特征值?的非零解
u称为A的对应于特征值?的特征向量。
n次多项式
p(?)?det(?E?A)
称为A的特征多项式，n次代数方程
p(?)?0 （5.46）
称为A的特征方程，也称它为（5.33）的特征方程。
根据上面的讨论，e?tc是（5.33）的解，当且仅当?是A的特征值，且c是对应于?的特征向量。A的特征值就是特征方程（5.46）的根。因为n次代数方程有n个根，所以A有n个特征值，当然不一定n个都互不相同。如果???0是特征方程的单根，则称?0是简单特征根。如果???0是特征方程的k重根，则称?0是k重特征根。 例3 试求矩阵A???35?的特征值和对应的特征向量。 ???53?解 A的特征值就是特征方程
5??3??2det(A??E)?????6??34?0 ???53???的根。几、解之得到?1,2?3?5i。对应于特征值?1?3?5i的特征向量
?u?u??1?
?u2?必须满足线性代数方程组
??5i5??u1?(A??1E)u???0 ?????5?5i??u2?因此，u1,u2满足方程组
??iu1?u2?0 ??u?iu?0?12所以，对于任意常数??0
?1?u????
?i?是对应于?1?3?5i的特征向量。类似地，可以求得对应于?2?3?5i的特征向量为
?i?v????
?1?其中??0是任意常数。 例4 试求矩阵A??解 特征方程为
?21??的特征值和对应的特征向量。 ?14?????2?1?det(?E?A)????2?6??9?0 ???4??1因此，??3是A的二重特征值。为了寻求对应于??3的特征向量，考虑方程组
?1?1??c1?(3E?A)c???0 ????1?1??c2?或者
?c1?c2?0 ??c1?c2?0因此，向量
?1?c????
?1?是对应于特征值??3的特征向量，其中??0是任意常数。
一个n?n矩阵最多有n个线性无关的特征向量。当然，在任何情况下，最低限度有一个特征向量，因为最低限度有一个特征值。
首先，让我们讨论当A具有n个线性无关的特征向量时（特别当A具有n个不同的特征值时，就是这种情形），微分方程组（5.33）的基解矩阵的计算方法。
定理10 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,?,vn，它们对应的特征值分别为?1,?2,?,?n（不必各不相同），那么矩阵
?nt?1t?2t?(t)??ev,ev,?,evn?12??，???t???
是常系数线性微分方程组
x??Ax （5.33）
的一个基解矩阵。
证明 由上面关于特征值和特征向量的讨论知道，每一个向量函数ejvj（j?1,2,?,n）都是（5.33）的一个解。因此，矩阵
?nt?1t?2t?(t)??ev,ev,?,evn?12??
?t是（5.33）的一个解矩阵。因为，向量v1,v2,?,vn是线性无关的，所以
det?(0)?det?v1,v2,?,vn??0
根据5.2.1的定理2*推得，?(t)是（5.33）的一个基解矩阵。定理证毕。 例5 试求方程组x??Ax，其中A???35?的一个基解矩阵。 ???53?解 由例3知道，?1?3?5i和?2?3?5i是A的特征值，而
?1??i?v1??? v2???
?1??i?是对应于?1,?2的两个线性无关的特征向量。根据定理10，矩阵
?e(3?5i)t?(t)??(3?5i)t?ie就是一个基解矩阵。
ie(3?5i)t? (3?5i)t?e?一般来说，定理10中的?(t)不一定就是expAt。然而，根据5.2.1的推论2* ，可以确定它们之间的关系。因为expAt和?(t)都是（5.33）的基解矩阵，所以存在一个非奇异的常数矩阵C，使得
expAt??(t)C
在上式中，令t?0，我们得到C???1(0)。因此
expAt??(t)??1(0) （5.47）
根据公式（5.47），expAt的计算问题相当于方程组（5.33）的任一基解矩阵的计算问题。注意，公式（5.47）还有一个用途，这就是下面的附注所指出的。
附注1如果A是实的，那么expAt也是实的。因此，当A是实的，公式（5.47）给出一个构造实的基解矩阵的方法。
例6 试求例5的实基解矩阵（或计算expAt）。 解 根据（5.47）及附注1，从例5中得
?e(3?5i)tie(3?5i)t??1i?1?e(3?5i)tie(3?5i)t??1?i?expAt??(3?5i)t??(3?5i)t??(3?5i)t??(3?5i)t??i1?i12ieeiee????????
(3?5i)t(3?5i)t(3?5i)t(3?5i)t?e?i(e?e)?3t?cos5tsin5t?1?e??(3?5i)t(3?5i)t??e??(3?5i)t(3?5i)t?sin5tcos5t2?i(e?e)e?e???现在讨论当A是任意的n?n矩阵时，（5.33）的基解矩阵的计算方法，先引进一些有关的线性代数知识。
假设A是一个n?n矩阵，?1,?2,?,?k是A的不同的特征值，它们的重数分别为
?1n1,n2,?,nk，这里n1?n2???nk?n。那么对应于每一个nj重特征值?j，线性代数
方程组
(A??jE)ju?0 （5.48）
的解的全体构成n维欧几里得空间的一个nj维子空间Uj(j?1,2,?k)，并且n维欧几里得空间可表为U1,U2,?,Uk的直接和。
这就是说，对于n维欧几里得空间的每一个向量u，存在唯一的向量u1,u2,?,uk，其中uj?Uj(j?1,2,?k)，使得
nu?u1?u2???uk （5.49）
关于分解式（5.49），我们举出它的两个特殊情形。如果A的所有特征值各不相同，这就是说，如果每一个nj?1 (j?1,2,?k)，而k?n，那么，对于任一个向量u，分解蚀（5.49）中的uj可以表为uj?cjvj，其中v1,v2,?,vn是A的一组线性无关的特征向量，cj(j?1,2,?k)是某些常数。如果A只有一个特征值，即k?1，这时不必对n维欧几里得空间进行分解。
现在利用刚刚引述过的线性代数知识着手寻求（5.33）的基解矩阵，先从寻求任一满足初始条件?(0)??的解?(t)开始，从定理9知道，?(t)可以表为
?(t)?(expAt)?，而将(expAt)?明显地计算出来，即要确切知道?(t)的每一个分量。