理论上和应用上，微分方程组的解当t??时的形态的研究都是非常重要的。作为公式（5.52）在这方面的一个直接应用，我们可以得到下面的定理11。 定理11 给定常系数线性微分方程组
x??Ax （5.33）
那么 1? 如果A的特征值的实部都是负的，则（5.33）的任一解当t???时都趋于零。
2? 如果A的特征值的实部都是非负的，且实部为零的特征值都是简单特征值，
则（5.33）的任一解当t???时都保持有界。
3? 如果A的特征值至少有一个具有正实部，则（5.33）至少有一个解当t???时趋于无穷。
证明 根据公式（5.52），知道方程组（5.33）的任一解都可以表示为t的指数函数与t的幂函数乘积的线性组合，再根据指数函数的简单性质及定理中1?，2?两部分所作的假设，即可得1?，2?的证明。为了证明3?，设????i?是A的特征值，其中?，?是实数且??0。取?为A的对应于特征值?的特征向量，则向量函数
?(t)?e?t?
是（5.33）的一个解，于是
?(t)?e?t????（当t???时）
这就是所要证明的。
本段所讨论的步骤及公式（5.52）提供了一个实际计算（5.33）的基解矩阵的方法。在这里我们主要应用了有关空间分解的结论。 附注2 利用约当标准型计算基解矩阵。
对于矩阵A，由矩阵理论知道，必存在非奇异的矩阵T，使得
T?1AT?J （5.55）
其中J具有约当标准型，即
?J1?0J???0??00J2000?00?? ?0??0Jl?0这里
??j?0??0Jj???0?0???01?j00000?0????00??，(j?1,2,?,l)
0??0?00?1??000?j??010000为nj阶矩阵，并且n1?n2???nl?n，而l为矩阵A??E的初级因子的个数；
?1,?2,?,?l是特征方程（5.46）的根，其间可能有相同者；矩阵中空白的元素均为零。
由于矩阵J及Jj(j?1,2,?,l)的特殊形式，利用定义（5.34）容易计算得到
000??expJ1t?0?expJt002? （5.56） expJt???00?0???000expJtl??其中
??1???0expJjt????0?0??0?t1t2?2!t?0??0000??n?1?tj?(nj?1)!??n?2tj??jt(nj?2)!?e （5.57）
??????1??所以，如果矩阵J是约当标准型，那么可以计算得到expJt，由（5.55）及矩阵指数的性质3?，可以得到微分方程组（5.33）的基解矩阵expAt的计算公式：
expAt?exp(TJT?1)t?T(expJt)T?1 （5.58）
当然，根据5.2.1的推论1*，矩阵
?(t)?TexpJt （5.59）
也是（5.33）的基解矩阵。由公式（5.58）或者（5.59）都可以得到基解矩阵的具体结构，问题是非奇异矩阵T的计算比较麻烦。
附注3 计算基解矩阵expAt的另一方法
用直接代入的方法应用哈密顿—凯莱定理容易验证
expAt??rj?1(t)Pj
j?0n?1其中P0?E，P?题
?(A??E)，（j?1,2,?,n），而r(t),r(t),?,r(t)是初值问
k12njk?1?r1???1r1? ?r1??rj?1??jrj,(j?1,2,?,n)??r1(0)?1,rj(0)?0,(j?1,2,?,n)的解，?1,?2,?,?n是矩阵A的特征值（不必相异）。
现在应用这一方法计算例9给出的方程的基解矩阵expAt，这时?1?1，
?2??3?2，求解初值问题：
?r1??r1?r??r?2r?212 ???r3?r2?2r3??r1(0)?1,r2(0)?r3(0)?0得到r1?et，r2?e2t?et，r3?(t?1)e2t?et，计算得
?2?11??2?11?
P?A?E?1????1?11???1?11??
P2?(A?E)(A?2E)??1?11????000??最后得到
2t?en?1?expAt??rj?1(t)??(1?t)e2t?etj?0?e2t?et??te2t?te2t?et?e2t?ette2t??te2t? e2t??与例9所得结果相同。
最后，我们给出非齐线性方程组
x??Ax?f(t) （5.60）
的常数变易公式，这里A是n?n常数矩阵，f(t)是已知的连续向量函数。因为（5.60）对应的齐线性方程组（5.33）的基解矩阵?(t)?expAt，所以，5.2.2中的常数变易公式在形式上变得特别简单。这时，我们有??1(s)?exp(?sA)，
?(t)??1(s)?exp?(t?s)A?，若初始条件是?(t0)??，则?h(t)?exp?(t?t0)A??，
（5.60）的解就是
?(t)?exp?(t?t0)A????exp?(t?s)A?f(s)ds （5.61）
t0t我们可以利用本段提供的方法具体构造基解矩阵expAt。然而，除非是某些特殊的情形，要去具体计算（5.61）中的积分式也是不容易的。
?e?t??35?例10 设A??，f(t)???，试求方程x??Ax?f(t)满足初始条件??0???53??0??(0)???的解。
?1?解由前面的例6知道，
?cos5tsin5t?expAt?e??
?sin5tcos5t??3t代入公式（5.61），我们得到
?cos5tsin5t??0?t3(t?s)?cos5(t?s)sin5(t?s)??e?s??(t)?e???e??ds ?????0??sin5tcos5t??1???sin5(t?s)cos5(t?s)??0?3t我们计算上面的积分如下：
?sin5t?3tt?4s?cos5tcos5s?sin5tsin5s??(t)?e???e?0e??sin5tcos5s?cos5tsin5s?ds
cos5t????3t利用公式或者分部积分法，得到
e?4ss?tecos5sds?(?4cos5s?5sin5s) ?0s?016?25te?4ss?t?4sesin5sds?(?4sin5s?5cos5s) ?0s?016?25t?4s最后我们得到
13t?4cos5t?46sin5t?4e?4t? ?(t)?e??4t?41?46cos5t?4sin5t?5e?5.3.3 拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换可以用于解常系数高阶线性微分方程，有可以用来解常系数线性微分方程组。为此，首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形。我们定义
L?f(t)???e?stf(t)dt
0??这里f(t)是n维向量函数，要求它的每一个分量都存在拉普拉斯变换。其次，我们来建立下面的定理12，它保证了对常系数线性微分方程（组）施行拉普拉斯变换的可能性。
考虑常系数线性微分方程
x??Ax?f(t)
其中A为n?n常数矩阵，f(t)为0?t???上的连续n维向量函数（包括f(t)?0的情形）。
定理12 如果对向量函数f(t)，存在常数M?0及??0试不等式
f(t)?Me?t （5.62）
对所有充分大的t成立，则初值问题
x??Ax?f(t)，x(0)??
的解?(t)及其导数??(t)均像f(t)一样满足类似（5.62）的不等式，从而它们的拉普拉斯变换都存在。
证明 根据假设存在足够的的T，试当t?T使时f(t)?Me?t，而
?(t)?????A?(s)?f(s)?ds0t????T0?A?(s)?f(s)?ds??T?A?(s)?f(s)?dst
注意到在所假设条件下，解?(t)（?(0)??）于0?t???存在、唯一且连续，故于
?0,T?上A?(t)?f(t)有界，即存在K?0试
????A?(s)?f(s)?ds?K
0T于是