根据expAt的定义，一般来说，(expAt)?的分量是一个无穷级数，因而难于计算。这里的要点就是将初始向量?进行分解，从而使得(expAt)?的分量可以表示为t的指数函数与t的幂函数乘积的有限项的线性组合。
假设?1,?2,?,?k分别是矩阵A的n1,n2,?,nk重不同特征值。这时由（5.49），我们有
??v1?v???vn （5.50）
其中vj?Uj，(j?1,2,?k)，因为子空间Uj是由方程组（5.48）产生的，vj一定是（5.48）的解。由此即得
(A??jE)lvj?0，l?nj，(j?1,2,?k)
(5.51）
注意到当矩阵是对角形时，由例1知道，expAt是很容易求得的，这时得到
?e?jt?0???t?t?ejexp(??jEt)?ej??????E
?0?e?jt???由此，并根据等式（5.51），既有
(expAt)vj?(expAt)e??exp(A??jE)t??vjn?1 t2tj?jt?nj?1?2?e?E?t(A??jE)?(A??jE)???(A??jE)?vj2!(nj?1)!?????jt??exp(??jEt)??vj?e?jt在根据等式（5.50），知微分方程组（5.33）的解?(t)?(expAt)?可表为
?(t)?(expAt)??(expAt)?vj??(expAt)vjj?1j?1kk??ej?1k?jt?ttnj?1?2E?t(A??E)?(A??E)???(A??E)??vjjjj2!(nj?1)!????2nj?1
所以，方程（5.33）满足?(0)??的解?(t)最后可以写成
?(t)??ej?1k?jt?nj?1ti?i??(A??jE)?vj (5.52) ?i?1i!?在特别情形，当A只有一个特征值时，无需将初始向量分解为（5.50），这时对于任何u，都有
(A??E)nu?0
这就是说，(A??E)n是一个零矩阵，这样一来，由expAt的定义，我们得到
expAt?e(A??E)t?e?t?tt(A??E)i （5.53） ?i?0i!n?1i为了要从（5.52）中得到expAt，只要注意到
expAt?(expAt)E??(expAt)e1,(expAt)e2,?,(expAt)en?
?1??0??0??0??1??0???????其中 e1????,e2??0?,?,en????
??????0??????0?????0???0???1??是单位向量，这就是说，依次令??e1,??e2,?,??en，求得n个解，以这n个解作为即可得到expAt。
例7 如果A是例4的矩阵，试解初值问题x??Ax，?(0)??，并求expAt。 解 从例4知道，?1?3是A的二重特征值，这时n1?2，只有一个子空间U1，将
??1?n1?2及????代入（5.52）即得
??2????11????1?3t??1?t(??1??1)? ?(t)?e?E?t(A?3E)???e?E?t?????e?????11????2???2?t(??1??1)??3t3t（5.54）
利用公式（5.53），即得
?t???11??3t?1?t expAt?e?E?t(A?3E)??e?E?t???e?????11????t1?t??3t3t或者，分别令
??e1???，??e2???
?0??1?然后代入（5.54），亦同样得到上面的结果
?1??0?t??1?t expAt?e3t????t1?t???41000??0?4100???0?400?，试求expAt 例8 如果A??0??000?40????0000?4??解 这里n?5，???4是A的5重特征值，直接计算可得(A?4E)3?0。因此，由公式（5.53）可得
expAt?e这样一来
?4t?t22? E?t(A?4E)?(A?4E)??2!????1??0???expAt?e?4t??0??0????0????1??0?0??0??0t10000000??0?01000???0100??t?0??0010??00001????01000??0?00100?2?t?0000???0?2!?0000??0?0000???00100???0000????0000???0000????0000???
?e?4t?t200?2!?t00?100??010??001???3x1?x2?x3?x1?3?11??????2x1?x3例9 考虑方程组?x2，这里系数矩阵A?201，试求满足初始条
???x??x?x?2x??1?12??123?3??1???件?(0)??2??的解?(t)，并求expAt。 ?????3??解 A的特征方程为
det(?E?A)?(??1)(??2)2?0
?1?1，?2?2分别为n1?1，n2?2重特征值，为了确定三维欧几里得空间的子空间
U1和U2，根据（5.48），需要考虑下面方程组：
(A?E)u?0和(A?2E)2u?0
首先讨论
?2?11??u?0
(A?E)u??2?11????1?11??或
?2u1?u2?u3?0??2u1?u2?u3?0 ?u?u?u?0?123这个方程组的解为
?0??
u1??????????其中?为任意常数。子空间U1是由向量u1所张成的。其次讨论
?000??u?0
(A?2E)2u???110?????110??或
??u1?u2?0 ??u?u?0?12这个方程组的解为
????
u2??????????其中?，?是任意常数。子空间U2是由向量u2所张成的。
现在需要找出向量v1?U1，v2?U2使得能够将初始向量?写成（5.50）的形式。因为v1?U1，v2?U2，所以
?0?????，v????
v1???2??????????????其中?，?，?是某些常数，这样一来
??1??0??????????????? ?2????????3????????????因而???1，?????2，?????3，解之得到???2??1，???1，
???3??2??1，且
?1?0????，v???
v1??????21?21???????3??1????3??2??1??根据公式（5.52），我们得到满足初始条件?(0)??的解为
?(t)?etEv1?e2t(E?t(A?2E))v2??1?0??1?11??????e2t?E?t?2?21?????et?????211?????????????3??1???1?10?????3??2??1??????tt???1?0??1?t?
??e2t?2t1?2tt????et?????211?????????t1???3??1???t????3??2??1???0???1?t(?3??2??1)???e2t???t(?????)??et????321??21??1????3??1????3??2??1??为了得到expAt，依次令?等于
?1??0??0??0?,?1?,?0? ????????0????0????1??代入上式，我们得到三个线性无关的解。利用这三个解作为列，即得
?(1?t)e2t?expAt???et?(1?t)e2t??et?e2t??te2tet?te2tet?e2tte2t??te2t? e2t??应该指出，公式（5.52）是本节的主要结果。公式（5.52）告诉我们，常系数线性微分方程组（5.33）的任一解都可以通过有限次代数运算求出来。在常微分方程的