【竞赛考点挖掘】
1. 数列规律的发现 2. 综合数列的区分和解答
【习题精讲】
【例1】（难度等级 ※※）
观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（），17，20 ②19，17，15，13，（），9，7 ③1，3，9，27，（），243 ④64，32，16，8，（），2 【分析与解】
①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。 ③此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。
④与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即： 因此，括号中填4，代入后符合规律。
【例2】（难度等级 ※※）
（1） 1，1，2，3，5，8，（），21，34? （2） 1，3，4，7，11，18，（），47? （3） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）. （4） 1，2，6，24，120，（），5040。 【分析与解】
（1）首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。
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（2）从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=11＋18。
（3）这一列数有如下的规律： 第1项：1=1 第2项：3=1＋2 第3项：6=1+2+3 第4项：10=1+2+3+4 第5项：（ ）
第6项：21=1+2+3+4+5+6 第7项：28=1+2+3+4+5+6+7 第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项：（ ）
即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，
第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5； 第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。 （4）显然： 第1项 1=1 第2项 2=1×2 第3项 6=1×2×3 第4项 24=1×2×3×4 第5项 120=1×2×3×4×5 第6项 （ ）
第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7 所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720
【例3】（难度级别 ※※）
（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（ ），??
（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（ ） （3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（ ） 【分析与解】
（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（ ），……
这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……．
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对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即4＋4＝8． 同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26． 所以，括号里应填8+26．
（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（ ） 观察这个数列中每一组中对应位臵上的数字，可以得到如下规律： 每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列， 第二个是2、4、8、16、......，这是一个等比数列， 第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；
所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）． （3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（ ）
这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于第一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．
【例4】（难度级别 ※※）
1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，??是一串按照某规律排列的自然数，请问其中第51个数至第55个数的和是多少？ 【分析与解】
观察可以发现，数列的规律是两个一组，即1，2；2，3；3，4；…，每一组的第一个数为从1开始的自然数列，而且是这一组的组数，每组的两个数为连续自然数，因为51÷2=25…1，说明第51个数是第26组的第一个数，应该是26，从第51个数到第55个数一共有5个数，分别为：26，27，27，28，28，所以它们的和为：26+27+27+28+28=136.
【例5】（难度级别 ※※）
1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，?．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？ 【分析与解】
观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数，每组的第一个数都是这个组的组数；因为101÷3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：
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35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．
【例6】（难度级别 ※※）
一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6??，问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？ 【分析与解】
观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个的分组：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……可以发现这串数的排列有这样的规律：第1、2、3、……组中第一个数依次为1，2，3，……每一组数都是由3个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的3倍．
100÷3=33……1，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34．求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少．
2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816，或者（6+102）×33÷2+34=1816
【例7】（难度级别 ※※※）
小王和小李玩数字游戏，小王说：“我先报数，你得按规律往下报，不许瞎报.”于是小王先报：“172.”小李说：“没看到规律，我报不出，你再报两个.”小王又报：“84，40.”小李说：“行了，我报18，7.”你知道小王下一个该报几吗？ 【分析与解】
小王接着无法报了，因为观察小王和小李报出的所有数：172，84，40，118，7，可以发现，报数的规律是按前一数的一半减2后往下报的，但是7再往下报的话就不是整数了，所以小王接着无法再往下报了.
【例8】（难度级别 ※※※）
先观察下面各算式，再按规律填数．
（1）12345679×9=111111111 （2）21×9=189
12345679×18=222222222 321×9=2889 12345679×27=333333333 4321×9=38889 12345679×____=444444444 54321×9=（ ） 12345679×_____=666666666 654321×9=（ ） 【分析与解】
（1）在这一组算式中，被乘数不变，乘数和积都在变化．和第一个算式比，乘数扩大多少倍，积也就扩大多少倍．根据这一规律可知，空格中的数分别为9×4=36，9×6=54．
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（2）通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是21、321、4321，乘号后面都是9，相乘的答案的最高位分别是1、2、3，而位数分别是三位数、四位数、五位数．由此可得：
54321×9的最高位是4，位数是5+1＝6，个位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，个位是9，其余各位都是8，位数是6+1＝7． 所以，54321×9=488889，654321×9=5888889．
【例9】（难度级别 ※※※）
在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。 ①42，20，18，48，24 （21，54，45，10） ②15，75，60，45，27 （50，70，30，9） ③42，126，168，63，882 （27，210，33，25） 【分析与解】
①中，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用54代替。 ② 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数，而 27不是，用30来替换27。
③同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882都是42的整数倍，而63却不是.因此，用210来代替63。
【例10】（难度级别 ※※※）
1+2+1=
1+2+3+2+1= 1+2+3+4+3+2+1=
1+2+3+4+5+4+3+2+1=
根据上面四式的计算规律求：1+2+3+?+9+10+9+?+3+2+1= 【分析与解】
这道题可以利用简便方法计算出上面四个算式的结果，从中找出答案规律.
1+2+1=2+(1+1)=2×2=4,1+2+3+2+1=3+(2+1)+（2+1）=3×3=9，1+2+3+4+3+2+1=4+（1+3）+（2+2）+（1+3）=4×4=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5+（1+4）+（1+4）+（3+2）+（3+2）=5×5=25，可以发现：算式的答案等于加法算式中间一个加数（最大的数）乘以自己.所以，1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=10×10=100.
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