【例11】（难度级别 ※※※）
先找规律，再填数
3×4=12 33×34=1122 333×334=111222 3333×3334=11112222 33333×33334=( ) 333333333×333333334=( ) 【分析与解】
通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是3、33、333、3333、33333、333333333，乘号后面分别是4、34、334、3334、33334、333333334，乘数与被乘数位数相同，相乘的答案的位数分别是乘数与被乘数的位数和，而且积是有规律的，它所含有的1的个数和2的个数相等，都是乘数或被乘数的位数．所以括号中分别填1111122222和111111111222222222．
【例12】（难度级别 ※※※）
自然数1，2，3，4??排成如下数阵：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 ?? 1 3 5 7 9 11 ?? 2 4 6 8 10 12 ?? 3 5 7 9 11 13 ?? 4 6 8 10 12 14 ?? 问这个数阵中的第15列上起第3个数是（ ） 【分析与解】
观察这个数阵中的数的排列规律，可以发现：每列的第二个数都是双数，并且是每列序数的2倍：每列的四个数是4个连续自然数按从小到大的顺序排列；除2以外，其它双数均出现2次．因此，第15列上起第2个数是：2×15=30，第三个数就是31.
【例13】（难度级别 ※※※※）
有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；??．问第99个数组内三个数的和是多少？
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【分析与解】
观察每一组中对应位臵上的数字，每组第一个是1、2、3、......的自然数列，第二个是5、10、15、......，分别是它们各组中第一个数的5倍，第三个10、20、30、......，分别是它们各组中第一个数的10倍；所以，第99组中的数应该是：99、99×5、99×10，三个数的和=99+99×5+99×10=1584．
【例14】（难度级别 ※※※※）
1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，??， 那么其中第多少个算式的结果是2008？ 【分析与解】
先找出规律： 每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数． 因为2008是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3， 如果是1：那么第二个数为2008－1=2007，2007是第（2007+1）÷2=1004项，而数字1始终是奇数项，两者不符， 所以这个算式是3+2005=2008，是（2005＋1）÷2=1003个算式．
【例15】（难度级别 ※※※※）
下面是一组数列，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？ 8（ ）（ ）（ ）？（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）6 【分析与解】
根据每三个相邻数之和为17，可知倒数第二个数与倒数第三个数之和为17－6=11推出倒数第四个数为6，倒数5、6之和为11，则问号为17－11=6
【作业】
1. 按一定的规律在括号中填上适当的数： （1）1，1，3，7，13，（ ），31。 （2）1，3，7，15，31，（ ），127，255。 (3)1，4，9，16，25，（ ），49，64。 (4)0，3，8，15，24，（ ），48，63。 （5)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）. (6)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）. 【答案】21，63，36，35，32，81
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2. 按一定的规律在括号中填上适当的数： （1）1，2，3，4，5，（ ），7? （2）100，95，90，85，80，（ ），70 （3）1，2，4，8，16，（ ），64 【答案】6，75，32
3.按一定的规律在括号中填上适当的数： （1）.2，1，3，4，7，（ ），18，29，47 （2）.1，2，5，10，17，（ ），37，50 （3）.1，8，27，64，125，（ ），343 （4）.1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5 【答案】11，26，216，7
4. 观察下面的算式：4×2，5×4，6×6，4×8，5×10，6×12，4×14，5×16，??其中第多少个算式的结果是2008？ 【答案】251
5. 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.
1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 （ ） 25
6 12 18 （ ） 30 36 【答案】20，24
挑战自己 （难度等级 ※※※※※） 将自然数中的偶数2，4，6，8，10?按下表排成5列，问2000出现在哪一列？ - 28 -
【答案】A列
第四讲 等量代换 【专题知识点概述】
等量代换。用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。 “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。
【授课批注】 本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想，在授课过程中，尽量用图形文字来表示数字，对高水平的学生可以尝试使用字母。 【重点难点解析】
1. 寻找等量关系
【竞赛考点挖掘】
1. 较难等量代换和代数方法的综合
【习题精讲】
【例1】（难度等级 ※）
如右图，一个 ▽ =（ ）个 ○？
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【分析与解】
方法一：3个□和3个▽一样重，可以知道1个□和一个▽也一样重；也就是2个▽和6个○一样重，可知1个▽就等于3个○。 方法二：把天平图改写成算式： 因为，○+○+○+○+○+○=□+□ 所以，□=○+○+○
又因为，▽+▽+▽=□+□+□ 所以，▽=□ 得到：▽=○+○+○
方法三：我是用替换的方法：
把□→▽，因此，□→▽，□→▽，□→▽ 因为， 所以，
从中得出：▽=○+○+○
【例2】（难度等级 ※）
最大的球的重量是（ ）克。
【分析与解】 方法一：
- 30 -
30克 图1 图2 图3