求：(1)(X,Y)的分布函数；
(2) 关于X的边缘分布函数.
45、袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量X和Y：
?1,X???0,第一次摸出白球?1,，Y??第一次摸出黑球?0,第二次摸出白球第二次摸出黑球；
求：(1)随机变量(X,Y)的联合概率分布；(2)X与Y的边缘分布. 46、某种型号的电子管其寿命X（以小时计）为一随机变量，概率密度为
?100,? f(x)??x2?0,?x?100其它
某一无线电器材配有三个这种电子管，求使用150小时内不需要更换的概率是多少？ 47、某射手每次打靶能命中的概率为
23，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为X，后
两次中靶数为Y,求（1）(X,Y)的分布律；（2）关于X和Y的边缘分布律
48、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布. 49、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为
6f(x,y)??(4?x)(9?y)222,???x??,???y??
求：(1)(X,Y)的分布函数；
(2)关于Y的边缘概率密度.
50、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为
0.4,0.3,0.5.
（1）求恰有两位同学不及格的概率；
（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率. ?0,?251、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??Ax,?1,?x?00?x?1, x?1求(1)常数A；（2）X落在(,2)内的概率；
3152、设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y??2lnX的概率密度.
21
?e?x,53、设随机变量X的概率密度为f(x)???0,x?0其它，求Y?X2的概率密度函数.
54、某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望和方差. ?ax?b ,1?x?21955、设随机变量X的概率密度为f(x)??,E(X)=,试求：
12?0 , 其他 （１）系数a,b的值；（2）方差D（X）。
56、一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5. 在其中同时任取3只，记X为取出的3只球的最大编号；试求(1)X的分布律；(2)X的期望.
57、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是望.
58、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量
X,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算X和Y的分布律和数学期望. 59、设随机变量X的概率密度为
?ax2?bx?c,f(x)??0,?0?x?1其他，
25，设X为途中遇到红灯的次数，求(1)X的分布律；(2)X的期
已知E(X)?0.5,D(X)?0.15，求系数a,b,c. 60、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?Ae?(x?y), f(x,y)???0,x?0,y?0其他
求（1）A的值；（2）P{X?1,Y?2}
?Axe61、设随机变量X的概率密度为f(x)???0,?x,x?0x?0，试求
（1）系数A;（2）方差D(X) .
?3x?，0?x?162、设随机变量X的概率密度f(x)??2， 试求随机变量Y?1?2X的
?0，其它?22
概率密度．
63、设(X,Y)的联合分布律
Y X 1 2 -1 0.2 0.3 1 0.1 0.2 2 0.1 0.1 为
试求：（1）边缘分布Y的分布律；（2）D(Y2). 64、已知随机变量X的概率分布律为
Y?X?1，求Y的分布律和数学期望E(Y)
2X P -2 0.3 0 0.2 2 0.2 4 0.3 65、设总体X~N(?,2.82)，(X1,X2,?,X10)为总体X的一个样本，并且已知样本的平均值x?1500，.求 ?的置信水平为0.95的置信区间．（z0.05?1.645、z0.025?1.960） 66、设总体X的概率分布列为：
X 0 1 2 3 P p2 2 p(1-p) p2 1-2p 其中p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3
求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .
67、设随机变量X服从参数为?的指数分布，?为未知参数，求?的极大似然估计量.
????68、设?1及?2为参数?的两个独立的无偏估计量,且假定D(?1)?2D(?2),求常数C1及C2,???使得??C1?1?C2?2为?的无偏估计,并使得D(??)达到最小.
22
69、 设总体X?N(1,?),其中?为未知参数，X1,X2,...,Xn为一个样本，求?的最大
似然估计量。
??x??1,70、设总体X的概率密度为f(x)???0,0?x?1其它
其中??0是未知参数，X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求
1（1）?的矩阵估计量??；（2）判断X?nn?i?1Xi是否为?的无偏估计量.
23
四、综合题
1、 假设某山城今天下雨的概率是准确的概率是
1413，不下雨的概率是
23；天气预报准确的概率是
34，不
；王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若
12天气预报没有雨，王先生带伞的概率是；试求：
(1)某天天气预报下雨的概率？(2)王先生某天带伞外出的概率？(3)某天邻居看到王先生带伞外出，求预报天气下雨的概率？
2、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明P(A?B)?P(A)?P(AB)
3、证明：P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)
1413124、已知P(A)?,P(BA)?,P(AB)?,求P(A?B)
5、已知事件A,B,C相互独立，证明：A?B与C相互独立.
6、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。
7、设A,B是两个事件，又设P(A)?p1?0,P(B)?p2?0且p1?p2?1，
1?p2p1证明：P(B|A)?1?.
8、假设P(A)?0,试证P(B|A)?1?P(B)P(A).
9、 设0?P(B)?1.若P(A|B)?P(A|B)，证明：A与B相互独立.
10、设A,B是任意二事件，其中0?P(A)?1，证明：P(A|B)?P(A|B)是A与B独立的充分必要条件.
11、随机变量X服从区间[1，6]上的均匀分布，求二次方程t?Xt?1?0有实根的概率？ 12、设随机变量X的概率密度为f(x)??122?2x,?0,0 测中事件{X?}发生的次数，求P?Y?2?. 24 13、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)????6x,0,0?x?y?1其他， 求 （1）X,Y的边缘密度函数； （2）(X,Y)的联合分布函数；（3）P(X?Y?1). 14、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?x2?Axy, f(x,y)???0,0?x?1,0?y?2其他 求（1）A的值；（2）两个边缘概率密度函数。 16、 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为 ?1,fX(x)???0,0?x?1?e?y,， fY(y)??其他?0,y?0其他. 求随机变量Z?X?Y的概率密度. 17、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 ?Ce?(3x?4y),f(x,y)??0,?x?0,y?0其他， 试求： (1) 常数C； (2) 联合分布函数F(x,y)； (3)P{0?X?1,0?Y?2}. 18、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 ?Cx2y3,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?1其他，试求： (1) 常数C； (2) X和Y的边缘密度函数；（３）证明X与Y相互独立. 19、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ?A(x?y)2, f(x,y)???0,x?1,y?1其他 12求（1）A的值；(2)关于X的边缘概率密度函数；（3）P{X?3,Y?}. 20、设二维随机变量?X,Y?是区域D内的均匀分布，D:x2?y2?1．试写出联合概率密度函数，并确定X,Y是否独立？是否相关？ ?8xy , 0?x?1,0?y?x21、设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，试求 ： ?0 其他25