第八章解三角形
考纲导读
（一）正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (二) 应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 知识网络
正弦定理 正弦定理的变形形式 解三角形 余弦定理 余弦定理的变形形式 解三角形 应用举例 测量实习
高考导航 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．
第1课时 三角形中的有关问题
基础过关 1．正弦定理：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；
⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；
⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题 例1. 在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C及边c． 解 A1＝60° C1＝75° c1＝
6?2 2A2＝120° C2＝15° c2＝
6?2 2变式训练1：(1)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? （ ） A．
1322 B． C． D． 4443解：B 提示：利用余弦定理
（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A.b?20,A?450,C?800 C.a?14,b?16,A?450
B.a?30,c?28,B?600 D. a?12,c?15,A?1200
解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解
53，sinB?，则cosC的值为（ ） 1351656165616A B C 或 D ?
6565656565解：A 提示:在△ABC中，由sinA?sinB?A?B 知角B为锐角
（4）若钝角三角形三边长为a?1、a?2、a?3，则a的取值范围是 ．
（3）在△ABC中，已知cosA?解：0?a?2 提示：由??(a?1)?(a?2)?a?3?(a?1)?(a?2)?(a?3)0222可得
（5）在△ABC中，?A?60,b?1,S?ABC?3,则a?b?c= ．
sinA?sinB?sinC解：239提示：由面积公式可求得c?4，由余弦定理可求得a?13 3例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 解：sinA＝2sinBcosC ?sin(B＋C)＝2sinBcosC ?sin(B－C)＝0?B＝C
sin2A＝sin2B＋sin2C?a2＝b2＋c2
?∠A＝90°
∴ △ABC是等腰直角三角形。
sinB?sinC，判断这个三角形的形状.
cosB?cosC解：应用正弦定理、余弦定理，可得
b?ca=2，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=22222c?a?ba?b?c?2ca2ab（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
变式训练2：在△ABC中，sinA=
例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sinA－cosA)＝0
∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝＋cos2C＝0得sinB＋cos2(?－B)＝0 cos＝(
3???－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B 222125??，C＝
12334?3从而B＋C＝?，由sinB44得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝∴A＝
?5? B＝ C＝? 4123变式训练3：已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2. （1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得 22（
a24R2－
c24R22
）=（a－b）
2
2
b. 2R2
2
2
a2?b2?c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.
2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=
311absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）
222=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =
3333sin2A－cos2A+=3sin（2A－30°）+.
222233. 2例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=
MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝?(
?3???2?)． 3(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为?的函数； (2)求y＝
11的最大值与最小值． ?2S12S2解 (1) AG＝
?3，∠MAG?
6336sin(??由正弦定理得GM??6，GN?)36sin(???6
)S1?sin?12sin(???6，S2?)sin?12sin(???6
)A N C 11y???72(3?cot2?) (2)22S1S22??2∵???∴当??或???时ymax?240 3333?（ M B G ?D 当??时2?ymin?216
变式训练4：在在△ABC中，?A,?B,?C所对的边分别为a,b,c，，且cosA?（1）求sin?21 3?B?C???cos2A的值； 2??（2）若a?3，求bc的最大值； 解：（1）因为cosA?112?B?C??[1?cos(B?C)]?(2cos，故sin??cos2A?322??2A?1)
?11121(1?cosA)?(2cos2A?1)?(1?)?(?1)?? 22399b2?c2?a212?cosA??bc?b2?c2?a2?2bc?a2 （2）?2bc33 又a?3,?bc? 故bc的最大值是
939，当且仅当b?c?时，bc? 4249 4 小结归纳 1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．
2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．
3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题
第2课时 应用性问题
基础过关 1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； ２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； ３．实际问题中有关术语、名称．
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰
角；在水平视线下方的角叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 典型例题 例1．(1)某人朝正东方走xkm后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好
3km，那么x等于 （ ）
（A）3 （B）23 （C）3或 23 （D）3 解：C 提示：利用余弦定理
（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
0300，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）
A 203m,403m B 103m,203m 3153203m,m 23C 10(3?2)m,203m D
解：A
（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为18，汽球向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为82，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B
（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东25方向，B向西偏北20方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的
00003，过三小时后，A、B的距离是 ． 5解：90.8 nmi
(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角?NBC?140，A处有灯塔， 其方位角?NBA?110，在C处观测灯塔A的 方位角?MCA?35，由B到C需航行半小时， 则C到灯塔A的距离是
0000 解：10(6?2)km 提示：由题意知 ?BCA?75，利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C
?