处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ 北 解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.
A ∵
20 B
?3sin?ACBsin120??, ∴sin∠ACB=,
20710710 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ?C ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南
?(cos??2)方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北45?的方向移动，10台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？
解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ?10t?60 由余弦定理知OQ2?PQ2?PO2?2PQ?POcos?OPQ 由于PO=300,PQ=20t
cos?OPQ?cos??45????4 522222故OQ?20t?300?9600t??10t?60? 2即t?36t?288?0 解得 12?t?24
答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．
变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东30方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东45方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC中，BC=30，B?30，?ACB?135 所以 A?15，由正弦定理可知： ?00000BCAC? sinAsinB30AC0?AC?60cos15 所以， 00sin15sin30于是A到BC所在直线的距离为
ACsin450?60cos150sin450?40.98?38
所以船继续向南航行无触礁危险。
例3. 如图所示，公园内有一块边长2a的等边△ABC形状的三角地，
现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上
（1）设AD?x(x?a)，ED?y，求用x表示y的函数关系式； （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置 应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又在哪里？请给予证明 解：（1）在△ABC中，D在AB上，?a?x?2a
111?S△ADE=S△ABC ?x?AEsin600?AB2?sin600
2242a2?AE? ，在△ADE中，由余弦定理得：
x4a44a42222y?x?2?2a ?y?x?2?2a2(a?x?2a)
xx 4a4（2）令 x?t，则a?t?4a 则y?t??2a2 t4a4?2a2,t?[a2,4a2]， 令 f(t)?t?t4a4t2?4a4(t?2a2)(t?2a2)?则f?(t)?1?2?
tt2t2?当t?(a2,2a2) 时,f?(t)?0；当t?(2a2,4a2) 时,f?(t)?0 又 f(a2)?3a2,f(2a2)?2a2,f(4a2)?3a2
222?当 t?2a2,即 x?2a 时,y有最小值2a，此时DE∥BC，且AD?2a
当 t?a2 或 4a2, 即 x?a 或 2a 时,y有最大值3a，此时DE为△ABC 的边AB或AC的中线上
变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角?应该是多少？
h2h,AB?a?， sin?tan?12hSh)?h?a?? 所以 S?(a?a?
2tan?htan?设两腰与下底之和为l，
Sh2hS2?cos?????h 则l?a?2CB??htan?sin?hsin?????2??2?21?2sin3sin?cos???S?S2?h??22?h ???????????h?2sinh??scos2sinco?22??22?????S?3?1?SS?3?1???2tan??h??3?h ???tan??h???h?222tan??hh?222tan????2??2??解：设 CD?a，则CD?a,则CB?当且仅当
?33?1 时，上式取等号，即当tan?时，上式取等号 tan?23222tan?2??2?300,即??600，所以下角??600时，梯形两腰及下底之和达到最小．
例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ 解：设?AOB??，在△AOB中，由余弦定理得：
2?OA?cOoBs? AB?OA?OB?22222 AOB ?1?2?2?1?2?cos??5?4cos? 于是，四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC?13OA?OBsin??AB2 24 ?13?2?1?sin??(5?4cos?) 24533co?s??42s?in?(3，?? ?sin???53?) 4因为0????，所以当??四边形OACB面积最大．
?3??25?5?，即?AOB?时， 660变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=x，则 则BC=4x，由已知得?BAE?30,?EAC?150 在△AEC中，由正弦定理得：
000ECAEAE?sin?EAC5sin15001??sinC???
sin?EACsinCEC5x2x在△ABC中，由正弦定理得：
BCABBC?sinC??AB??sin1200sinCsin120022204x?12x?43 332在△ABE中，由余弦定理得：BE?AB?AE?2AB?AE?cos30
?25?164333131 ?2?5???,故BE?3323331BE 所以船速v??3?93 答：该船的速度为93 km/h
1t3解三角形章节测试题
一、选择题
??1．在?ABC中，a?6，B?30，C?120，则?ABC的面积是（ ）
A．9 B．18 C．93 D．183 2．在?ABC中，若
?sinAcosB?，则B的值为（ ） ab???A．30 B．45 C．60 D．90
3．在?ABC中，若b?2asinB，则这个三角形中角A的值是（ ）
A．30或60 B．45或60 C．60或120 D．30或150? 4．在?ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
???A．b?10，A?45，C?70 B．a?60，c?48，B?60
?????????C．a?7，b?5，A?80 D．a?14，b?16，A?45
25．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x?3x?2?0的根，则第三边长是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．61 6．在?ABC中，如果(a?b?c)(b?c?a)?3bc，那么角A等于（ ） A．30 B．60 C．120 D．150
?7．在?ABC中，若A?60，b?16，此三角形面积S?2203，则a的值是（ ）
????A．206 B．75 C．51 D．49 8．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（ ）
A．
33233 B． C． D．33
2229．在?ABC中，若b?c?2?1，C?45?，B?30?，则（ ）
A．b?1,c? C．b?2 B．b?2,c?1
2222 D．b?1? ,c?1?,c?2222?10．如果满足?ABC?60，AC?12，BC?k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围
是（ ）
A．k?83 B．0?k?12 C．k?12 D．0?k?12或k?83
二、填空题
11．在?ABC中，若a:b:c?1:2:6，则最大角的余弦值等于_________________．
??12．在?ABC中，a?5，B?105，C?15，则此三角形的最大边的长为
____________________．
?13．在?ABC中，已知b?3，c?33，B?30，则a?__________________． ??14．在?ABC中，a?b?12，A?60，B?45，则a?_______________，
b?_______________．
三、解答题
15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．
16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．
17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？