答案
3 39.(2008湖北)在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,则
bccosA?cacosB?abcosC的值为 .
答案
61 210.（2007北京）在△ABC中，若tanA?1?，C?150，BC?1，则AB? . 3答案
10
211.（2007湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，则B? ．
答案
5? 612.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ .
答案 3 三、解答题
14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
?45?+?(其中sin?=
26??，0???90)且与点A相距1013海里的位置C. 26（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=402，AC=1013，?BAC??,sin??26. 26由于0???90,所以cos?=1?(由余弦定理得BC=
??262526)?. 2626AB2?AC2?2AB?ACcos??105.
所以船的行驶速度为105?155（海里/小时）. 23（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐 标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1= 2AB=40, 2x2=ACcos?CAD?1013cos(45???)?30, y2=ACsin?CAD?1013sin(45???)?20. 所以过点B、C的直线l的斜率k=
20?2,直线l的方程为y=2x-40. 10又点E（0，-55）到直线l的距离d=|0?55?40|?35?7.
1?4所以船会进入警戒水域.
解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得，
AB2?BC2?AC2cos?ABC?
2AB?BC402?2?102?5?102?13310==.
102?402?105从而sin?ABC?1?cos?ABC?1?在?ABQ中，由正弦定理得，
2910?. 101010ABsin?ABC10?40. ?AQ=
sin(45???ABC)2210?210402?由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP?BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt?QPE中，PE=QE·sin?PQE?QE?sin?AQC?QE?sin(45??ABC)
?=15?5?35?7. 5所以船会进入警戒水域.
14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，
可以选与塔底B在同一水平面内
的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s， 并在点C测得塔顶A 的仰角为?，求塔高AB． 解 在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得所以BC?BCCD?．
sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??．
sin?CBDsin(???)s·tan?sin?．
sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?15．（2007福建）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；
13，tanB?． 45（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 解 （Ⅰ）?C?π?(A?B)，
13?45??1．又?0?C?π，?C?3π． ?tanC??tan(A?B)??1341??453（Ⅱ）?C??，?AB边最大，即AB?17．
4又∵tanA＜tanB，A、B??0,?????角A最小，BC边为最小边． ?2?sinA1??，?tanA??π?由?cosA4且A??0，?，
?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC=AB·
sinCsinCsinA1716．（2007浙江）已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC． （I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为
1sinC，求角C的度数． 6解 （I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，BC?AC?2AB， 两式相减，得AB?1． （II）由△ABC的面积
111BC?AC?sinC?sinC,，得BC?AC?， 263AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC=
2AC?BC
(AC?BC)2?2AC?BC?AB21?， =
2AC?BC2所以C?60．
17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处 时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲 船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=102，? A1A2=302????20?102，∴A1A2=A2B2，? 60又∠A1A2B2=180°-120°=60°? ∴△A1A2B2是等边三角形，? ∴A1B2=A1A2=102.?
由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，? 在△A1B2B1中，由余弦定理，?
2121=B1B2+B1B2-B1B2·A1B2·cos45°? B1B2=20+(102)-2×20×102×
2
2
2=200.? 2∴B1B2=102.?
因此，乙船的速度的大小为?
102×60=302（海里/小时）.? 20答 乙船每小时航行302海里.?
19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．
解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6222（Ⅱ）根据余弦定理，得b?a?c?2accosB?27?25?45?7．
所以，b?7 ?，边BC?23．设内角B?x，周长?20.（2007全国Ⅱ）在△ABC中，已知内角A?为y．
（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．
解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?应用正弦定理，知
?2?，B?0，C?0得0?B?． ??AC?BC23sinB?sinx?4sinx，
?sinAsin?AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???因为y?AB?BC?AC，
所以y?4sinx?4sin?2???2????x??23?0?x??，
3????????1cosx?sinx?（2）因为y?4?sinx????23 ?2?????5??????43sin?x???23??x???，
????????所以，当x???????，即x??时，y取得最大值63