解：(1) 因为tanC?sinA?sinBsinCsinA?sinB?，即，
cosA?cosBcosCcosA?cosB所以sinCcosA?sinCcosB?cosCsinA?cosCsinB， 即 sinCcosA?cosCsinA?cosCsinB?sinCcosB，
得 sin(C?A)?sin(B?C). 所以C?A?B?C,或C?A???(B?C)(不成立).
即 2C?A?B, 得C??3，所以.B?A?2? 3又因为sin(B?A)?cosC?得A?1?5?，则B?A?，或B?A?（舍去） 266?4,B?5? 12(2)S?ABC?16?2acsinB?ac?3?3， 28 又
acac??, 即 ， sinAsinC2322得a?22,c?23.
15.（2009天津卷文）在?ABC中，BC?5,AC?3,sinC?2sinA
（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A??4)的值。
ABBC?，于是sinCsinA（1）解：在?ABC 中，根据正弦定理，
AB?sinCBC?2BC?25 sinAAB2?AC2?BC2（2）解：在?ABC 中，根据余弦定理，得cosA?
2AB?AC于是sinA?1?cos2A=
5， 543,cos2A?cos2A?sin2A? 55从而sin2A?2sinAcosA????2sin(2A?)?sin2Acos?cos2Asin?
44410【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力
16.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。
510 ,sinB?510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310 ,cosB?1?sin2B?510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4
（II）由（I）知C? 由
3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b
又∵ a?b?2?1
∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 ∴ a?2,c?5 17.（2009全国卷Ⅱ理）设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，
32，b?ac，求B 23分析：由cos(A?C)?cosB?，易想到先将B???(A?C)代入
2cos(A?C)?cosB?cos(A?C)?cosB?33得cos(A?C)?cos(A?C)?然后利用两角和与差的余弦22。
公式展开得sinAsinC?32；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得4sin2B?sinAsinC，进而得sinB?了检验，事实上，当B??2?3.故B?或。大部分考生做到这里忽略
3322?1时，由cosB??cos(A?C)??，进而得323cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，应舍去。
22?2也可利用若b?ac则b?a或b?c从而舍去B?。不过这种方法学生不易想到。
3评析：本小题考生得分易，但得满分难
18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平
面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，
0002?1.414，6?2.449）
解：在?ACD中，?DAC＝30°，?ADC＝60°－?DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0.1
又?BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是?CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 在?ABC中，
ABAC?，
sin?BCAsin?ABC即AB＝
ACsin60?32?6 ?sin15?2032?6?0.33km
20因此，BD?故B、D的距离约为0.33km。 12分
19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的
两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两
000点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449）
解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，sin?BCA?sin?ABC,
ACsin60?32?6?,?即AB=sin15 20ABAC因此，BD=
32?6?0.33km。 20故B，D的距离约为0.33km。
20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水
平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤
?1,?1解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理AM?dsin?2 ；
sin(?1??2)第二步：计算AN . 由正弦定理AN?dsin?2 ；
sin(?2??1)AM2?AN2?2AM?ANcos(?1??1) . 第三步：计算MN. 由余弦定理MN?方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角?1，?1；B点到M，N点的府角?2，?2；A，B的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理BM?dsin?1 ；
sin(?1??2)第二步：计算BN . 由正弦定理BN?dsin?1 ；
sin(?2??1)BM2?BN2?2BM?BNcos(?2??2) 第三步：计算MN . 由余弦定理MN?21.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。
510,sinB? 510解（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?225310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4
（II）由（I）知C?由
3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC